変数分離(フーリエ級数の利用)

質問

∂^2u/∂t^2=c^2*∂^2u/∂x^2
u(0,t)=0,u(L,t)=0 (すべての時間tに対して)
u(x,0)=f(x)
∂u/∂t|t=0(t=0での速度)=g(x)
u(x,t)=F(x)G(t)

∂^2u/∂t^2=F*G''
∂^2u/∂x^2=F''*G
FG''=c^2*F''*G
G''/(c^2*G)=F''/F=k(定数)
F''-k*F=0……(1)
G''-c^2*k*G=0……(2)

(i)(1)の解を求める
G(t)≣0(≣は、3本線のイコールです)
u(x,t)=0
u(0,t)=u(L,t)=0
G(t)≠0(≠は、3本線のイコールの否定です)
F(0)=F(L)=0……(3)

k<0のとき、k=-p^2とおく
F''-p^2*F=0
F=exp[m*x]とおく
m^2+p^2=0
m=±pi
F''+α*F'+β*F=0
α^2-4*β=-4*p^2<0
F(x)=A*cos(p*x)+B*sin(p*x)
F(0)=A=0
F(L)=Bsin(p*L)=0
B≠0でなければならない。
sin(p*L)=0
p*L=n*π(nは整数)
p=n*π/L
したがって、
F(x)=B*sin(n*π*x/L)……(4)
n<0のとき
m=-n
F(x)=-B*sin(m*π*x/L)
n=0のとき
F(x)=0
nは自然数

なんで、nは自然数でなければいけないんでしょうか？
n<0ではいけないんでしょうか？
教科書に、
(4)は式(3)を満たす。
sin(-α)=-sin(α)
であるので、nが負の整数のときには、式(4)の解の符号が変わるだけで同じ解が得られる。
とあります。

教科書と言っていることが逆のような気がします。
n<0のときも解でいいんでしょうか？
これは、調和振動のことについてらしいんですが、教科書には、nが自然数のときの図しか書いてありませんでした。
なんで、n<0のときの図がないのか不思議です。
教科書が、矛盾しているんでしょうか？

また、
G(t)≣0
は、すべてのtに対して0ということを言いたいんでしょうか？

回答No.1

yurih

波動方程式は線形ですよね。（解がベクトル空間になっている）

符号を変えたものというのは、単なる定数倍であって、ベクトルとしては
平行です。

解として重要なのは一次独立なもの（解の空間を張るベクトル）
だけなので、平行なベクトルを考えることにあまり意味はないという
ことでしょう。