フーリエ級数

質問

フーリエ級数の問題について教えてください！

f(x)=x(o≦x<π),0(-π≦x<o)

この時f(x)のフーリエ級数展開は、
π/4+1/πΣ[∞,n=1]{(-1)^n-1}cos(nx)/n^2-Σ[∞,n=1]{(-1)^n}sin(nx)/n
となる。

この式をF(x)としたとき、
(1) F(π)とF(0)とF(-π)を求めよ。

また、X=Σ[∞,x=0]1/(2n+1)^4、Y=Σ[∞,x=1]1/n^2としたとき
(2) 1/π∫[-π→π]｜f(x)｜^2を求め、さらにこれをXとYを使って表せ。

上の２題、よろしくお願いします＞＜

回答No.2

info22_

(1)
cos(nπ)=(-1)^n , sin(nπ)=0 なので
F(π)=(π/4)+(1/π)Σ[n=1,∞]{(-1)^(2n-1)}/n^2
=(π/4)-(1/π)Σ[n=1,∞](1/n^2) ←　公式適用
=(π/4)-(1/π)(π^2)/6=(π/4)-π/6)=π/12

cos(0)=1, sin(0)=0 なので
F(0)=(π/4)+(1/π)Σ[n=1,∞] {(-1)^(n-1)}/n^2
=(π/4)-(1/π)Σ[n=1,∞] {(-1)^n}/n^2　←公式適用
　　=(π/4)-(1/π)(-π^2)/12
=(π/4)+(π/12)=π/3

cos(-nπ)=(-1)^n , sin(-nπ)=0 なので
F(-π)=(π/4)+(1/π)Σ[n=1,∞]{(-1)^(2n-1)}/n^2
=(π/4)-(1/π)Σ[n=1,∞](1/n^2) ←　公式適用
=(π/4)-(1/π)(π^2)/6=(π/4)-π/6)=π/12

(2)
I1=(1/π)∫[-π→π]｜f(x)｜^2 dx=(1/π)∫[0→π] x^2 dx
=(1/π)[(x^3)/3] [x:0→π]
=(π^3)/(3π)=(π^2)/3

f(x)をF(x)で置き換えて
I2=(1/π)∫[-π→π]｜F(x)｜^2 dx
三角関数の直交性と半角の公式と偶関数の対称区間の積分の性質を使う。
途中計算が長くなるので省略します。

お礼

返信遅くなってすみません。
分かりやすい解説ありがとうございます！
おかげで解決しました^^

回答No.1

Tacosan

どこで困っている?

お礼

返信遅くなって申し訳ありません。
代入してからの変形の仕方が分かりませんでした…。
でも解決しました！

ありがとうございました^^