複素フーリエ級数

質問

この問題の解き方を教えて下さい。
問. f(x) = 1 - |x| (-2≦x≦2) 周期4(周期2L=4よりL=2)　の複素フーリエ級数を求めよ。
答え・・・Σ(n= -∞～∞) 2(1-(-1)^n)/(n^2 * π^2) * e^(inπx/2)
複素フーリエ級数：Σ(n= -∞～∞) Cn* e^(inπx/L)
Cn = 1/2L ∫（-L → L） f(x) * e^(-inπx/L)
<解いたやり方>
Cn = 2 * (1/4) ∫(0→L) (1-x)*e^(-inπx/2) dx
= (1-(-1)^n)/inπ - (2(1-(-1)^n)/(n^2 * π^2)) ← この時点で間違っています。
C0 = 0

よろしくお願いします。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

もう一行前の

>Cn = 2 * (1/4) ∫(0→L) (1-x)*e^(-inπx/2) dx

が違います．e^{-inπx/2}=cos(nπx/2)-isin(nπx/2)は偶関数ではありません．cosの部分が偶，sinは奇ですから，

(1-|x|)e^{-inπx/2}=(1-|x|)cos(nπx/2)-i(1-|x|)sin(nπx/2)

を-L～Lで積分すると第1項が0～Lの積分の2倍になり第二項は0になります．

正しくはn≠0のとき

Cn=2(1/4)∫(0→2) (1-x)*cos(nπx/2)dx

=(1/2){∫(0→2) cos(nπx/2)dx-∫(0→2) xcos(nπx/2)dx}←後半の積分は部分積分を使います．

=(1/2){[sin(nπx/2)/(nπ/2)](0→2)-[xsin(nπx/2)/(nπ/2)](0→2)+∫(0→2)sin(nπx/2)/(nπ/2)dx}

=(1/2){sin(nπ)/(nπ/2)-2sin(nπ)/(nπ/2)+[-cos(nπx/2)/(nπ/2)^2](0→2)}

=(1/2){(1-cos(nπ))/(nπ/2)^2

=2(1-(-1)^n)/(n^2π^2)

となります．答えの和はn=0を除きますね．

お礼

ありがとうございます。
奇関数と偶関数は気をつけます。
e^{-inπx/2}=cos(nπx/2)-isin(nπx/2)のように三角関数にして積分したほうが
簡単ですね