循環問題におけるアプローチについて

質問

かつて

(x＋y－1)/(x－y)＝(y＋z－1)/(y－z)＝(z＋x－1)/(z－x)
のとき

(1) x＋y＋z
(2) x^2＋y^2＋z^2
(3) 1/(x－1/2)^2＋1/(y－1/2)^2＋1/(z－1/2)^2

http://questionbox.jp.msn.com/qa/q6411001.html

という問題に取り組んでいた時、ふと思ったのですが、そのときの回答者の方がおっしゃっていたように
（３）に着目して
a=x-1/2　b=y-1/2　c=z-1/2
と変形してみました。与式は
(a+b)/(a-b)=(b+c)/(b-c)=(c+a)/(c-a)
=k
とおいて
(a+b)/(a-b)=k
k=1の場合はa=b=c=0となるためk≠1
これから
a=(k+1)/(k-1)　*b　=(k+1)^2/(k-1)^2　*c　=(k+1)^3/(k-1)^3　*a

よって
(k+1)/(k-1)=ωまたはω^2　(ω、ω^2はt^2+t+1=0の解)
ここでaを0でない任意の複素数とすると、b,cはaと絶対値が等しく、2π/3、4π/3回転させたものとなり、
aがすべての複素数を取りうることから、他の解はない。

b=aω
c=aω^2

これから
(1)a+b+c=a(1+ω+ω^2)=0　　よって　x+y+z　=　3/2
(2)a^2+b^2+c^2=a^2(1+ω^2+ω^4)=0
よってx^2+y^2+z^2=a^2+b^2+c^2-(a+b+c)+3/4=　3/4
(3)1/a^2+1/b^2+1/c^2=　1/a^2+1/(aω)^2+1/(aω^2)^2
　　=1/a^2　*(1+1/ω^2+1/ω^4)
　　=1/a^2　*(1+ω+ω^2)=　0

解答としてはもう少し補わなくてはならないかもしれませんが、
このようなシナリオは、高校のテストあるいは大学入試で○になりますか？
それとも減点になりますか？　×だったりして・・

以前からこうした循環問題の必然的アプローチがないものかと思っていましたが、
もしこのような解答が可能であれば、
a≠b≠cとなるような循環問題を解く際の着眼点になりうるのではないか
と思い投稿しました（あらゆる問題に対応できるかどうかはわかりませんが）。
それとも、すでに常識になっているのでしょうか。
指導的立場、採点する立場の方のご意見伺いたいです。
基本的にお前の考え方間違ってるよ、というご指摘もぜひお願いします。
このサイトをチェックされている高校生や受験生の方に影響する危険がありますので、安易なご意見はご注意ください。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

安易な意見を一つ。
数学的に正しく、非常にキレ味のよい解法だと思いますが、
高校生が書く答案としては微妙なところです。
高校教程での複素数の扱いは制限されており、
そこをハミだす答案は、細部を厳しくダメ出し
される可能性があるからです。
そういう詰まらない政治的なことを気にせず、
貴方の解答のような真に素晴らしいものを
自由に書ける教育制度だといいんですがね。

お礼

んーむ、君子危うきに近寄らず、といったところなんでしょうか。
危うきにも、採点者側の姿勢、子どもの理解度両面ありますが。

もう少し様子をみたかったのですが、膨大な投稿のかげに忘れ去られた感が否めません。
これで締めます。
ありがとうございました。

回答No.1

mister_moonlight

私は、指導的立場でも採点する立場でもないが、自分の回答を発端として問題提起されているので書き込む。
私自身は、 abc＝1　の導出をミスって、その解法は断念したが、着想としては全く同じ。

＞b=aω、c=aω^2

に気がつかなかったが、解としてはその解がベストだと思う。

＞それとも、すでに常識になっているのでしょうか。

その解法は常識とは言わないが、私自身は、既に高校時代にやっていた。
もちろん、自分で着想したわけではない。
当時愛読していた、雑誌「大学への数学」(東京出版)で覚えた方法だったし、その解法をむしろ奨励していたから、入試での解答としても問題ないように思う。

尤も、そんな事は、指導的立場でも採点する立場でもない私が判断する事ではないが。。。。。。。。ｗ

お礼

あまりに捨てがたい着想だったので、自分なりに形にしてみましたが、
不安が払拭できなかったのでアップさせていただきました。

受験参考書で奨励していたことは知りませんでした。

遅ればせながら、お礼申し上げます。