エジプト分数問題：修正文

質問

式１：　P　＋　ｚ　＝　４ｙ（ｘｚ－１）

式２：　P　＋　ａ　＝　（４ａｂ－１）（４ｃ－ａ－１）

Ｐは　２４ｎ＋１　（ｎは自然数）　型の素数であるとする。

式１の導出：L＝４ｘｙｚ-４ｙ－ｚ

　　　M＝ｘｚ－１　のとき

４／Ｌ＝１／ｘｙＬＭ　＋１／ｘｙＬ　＋１／ｙＭ

が成り立ちます。　　

そして、Ｐ＝Ｌとおいて式を変形すれば式１が導かれます。　　

式２の導出：　

４／Ｐ　＝１／（６ｎ＋ｋ）　＋１／Ｈ　＋１／Ｊ

４／Ｐ－１／（６ｎ＋ｋ）＝１／Ｈ　＋１／Ｊ

Ｐ＝２４ｎ＋１　とおき、

（４ｋ－１）／（２４ｎ＋１）（６ｎ＋ｋ）＝１／Ｈ　＋１／Ｊ

ここで、ＨとＪを変形して

（４ｋ－１）／（２４ｎ＋１）（６ｎ＋ｋ）＝（４ｋ－ｄ－１）／Ｐｄｍ（４ｋ－ｄ－１）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋ｄ／Ｐｄｍ（４ｋ－ｄ－１）

　　　　　　　　　　　６ｎ＋ｋ＝４ｋｄｍ－ｄｍ（ｄ＋１）　から

　　　　　ｋ＝ｃ、ｄ＝ａ、ｍ＝ｂ　として４を両辺にかけると

　　　　　　　　２４ｎ＝１６ａｂｃ－４ｃ－４ａｂ（ａ＋１）

　　　　　　　　　　　＝（４ａｂ－１）（４ｃ－ａー１）－ａ－1

　　　　　　　２４ｎ＋１＋ａ＝（４ａｂ－１）（４ｃ－ａ－１）　　　

　　　　　　　　　　　　Ｐ＋ａ＝（４ａｂ－１）（４ｃ－ａ－１）　となる。

　　　　　　素数Ｐに対して　ｚ　を動かして式１の解（ｘ、ｙ、ｚ）

　　　　　が存在するか確かめる。もし（ｘ、ｙ、ｚ）が存在するなら素数Ｐ

　　　　　は単位分数分解の解が存在する。

　　　　　　もし、式１の解が存在しないのなら、ａを動かして式２の解

　　　　　（ａ、ｂ、ｃ）が存在するか確かめる。もし存在するなら素数Ｐは

　　　　　単位分数の解が存在する。もし、式１と式２の単位分数分解の

　　　　　解が存在しない場合、そのことを私に教えてほしいのです。

　　　　　一応素数Ｐがどれぐらい３つの単位分数の解が存在するか

　　　　　調べてみたのですが、少なくともＰが１０００以下の場合には

　　　　　解がすべて存在することが調べて分かっています。知りたい

　　　　　のは式１と式２を同時に成り立たせない素数Ｐがあるかという

　　　　　ことが知りたいです。もし、すべての素数で反例がないことが

　　　　　分かったのならエジプト分数の予想は正しいことになります。

　　　　　ただ、多分反例が見つかると本人は思っています。　

　　　　Ｐ＝９３７　の場合（例１）　

　　　ｚ＝３、Ｐ＋３＝４ｙ（３ｘ－１）＝９４０＝４・５・４７

　　　Ｐ＋３＝４・４７・（３・２－１）

　　　（ｘ、ｙ、ｚ）＝（２，４７，３）　なので解が存在する。　　　　　

　　　　Ｐ＝１００９　の場合（例２）　　　　　　　

　　　ａ＝３、Ｐ＋３＝（１２ｂ－１）（４ｃ－４）

　　　１０１２＝４・２３・１１＝４（１２ｂ－１）（ｃ－１）

　　　（ａ、ｂ、ｃ）＝（３，２，１２）、（３，１，２４）

　　　が成り立ち　Ｐ＝１００９　も解が存在する。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

P=1(mod24)&P素数とする

P+z=4y(xz-1)
となる自然数x,y,zが存在するならば
4/P=1/{y(xz-1)}+1/{xyP}+1/{xyP(xz-1)}
と自然数分母単位分数分解できる

P=193に対して
4/P=4/193=1/50+1/1930+1/4825
だけれども
P+z=4y(xz-1)となる自然数x,y,zは存在しない
∴P=193の時(式1)P+z=4y(xz-1)の自然数解は無い

P+a=(4ab-1)C
となる自然数a,b,Cが存在するならば
4/P=1/(abC)+1/(Pab)+1/(PbC)
と自然数分母単位分数分解できる

P=409に対して
4/P=4/409=1/104+1/6135+1/638040
だけれども
P+a=(4ab-1)C
となる自然数a,b,Cは存在しない
∴P=409の時(式2)P+a=(4ab-1)Cの自然数解は無い

(式1)か(式2)のどちらかの自然数解が無い場合はあるけれども
(式1)と(式2)の両方とも自然数解が無い反例があるかどうかは不明ですが
(P-1)(P-121)(P-169)(P-289)(P-361)(P-529)≠0(mod840)のとき
反例は無く4/P=1/X+1/Y+1/Zとなる自然数X,Y,Zが存在します。
P=1(mod24)をmod5,mod7で分類します。

P=0(mod5)のとき{P=1(mod24)だから}Pは素数でない

P=3(mod5)のとき
P=3(5j+4)+1=5(3j+2)+3となる整数jがあるから
P=13(mod15)だから
P=15C-2となる自然数Cがある
b=2
a=2
P+a=(4ab-1)C
となる自然数a,b,Cが存在するから
4/P=1/(4C)+1/(4P)+1/(2CP)
と自然数分母単位分数分解できる

P=2(mod5)のとき
P=4(5j+4)+1=5(4j+3)+2となる整数jがあるから
P=17(mod20)だから
P=20y-3となる自然数yがある
x=2
z=3
P+z=4y(xz-1)
となる自然数x,y,zが存在するから
4/P=1/(5y)+1/(2yP)+1/(10yP)
と自然数分母単位分数分解できる

{(P-1)(P-4)=0(mod5)}&{P=1(mod24)}→(P-1)(P-49)=0(mod120)だから
(P-1)(P-49)≠0(mod120)のとき
4/P=1/X+1/Y+1/Zとなる自然数X,Y,Zが存在する

(P-1)(P-49)=0(mod120)とする

P=0(mod7)のとき{P=1(mod24)}だからPは素数でない

P=3(mod7)のとき
P=4(7j+4)+1=7(4j+2)+3となる整数jがあるから
P=17(mod28)だから
P=28x-11となる自然数xがある
y=1
z=7
P+z=4y(xz-1)
となる自然数x,y,zが存在するから
4/P=1/(7x-1)+1/(xP)+1/{xP(7x-1)}
と自然数分母単位分数分解できる

P=5(mod7)のとき
P=24(7j+6)+1=7(24j+20)+5となる整数jがあるから
P=145(mod168)だから
P=168b-23となる自然数bがある
a=2
C=21
P+a=(4ab-1)C
となる自然数a,b,Cが存在するから
4/P=1/(42b)+1/(2bP)+1/(21bP)
と自然数分母単位分数分解できる

P=6(mod7)のとき
P=8(7j+5)+1=7(8j+5)+6となる整数jがあるから
P=41(mod56)だから
P=56x-15となる自然数xがある
y=2
z=7
P+z=4y(xz-1)
となる自然数x,y,zが存在するから
4/P=1/{2(7x-1)}+1/(2xP)+1/{2xP(7x-1)}
と自然数分母単位分数分解できる

{P=1(mod120)}&{P=1(mod7)}→P=1(mod840)
{P=1(mod120)}&{P=2(mod7)}→P=11^2=121(mod840)
{P=49(mod120)}&{P=1(mod7)}→P=13^2=169(mod840)
{P=49(mod120)}&{P=2(mod7)}→P=17^2=289(mod840)
{P=1(mod120)}&{P=4(mod7)}→P=19^2=361(mod840)
{P=49(mod120)}&{P=4(mod7)}→P=23^2=529(mod840)
だから
∴
(P-1)(P-121)(P-169)(P-289)(P-361)(P-529)≠0(mod840)のとき
4/P=1/X+1/Y+1/Zとなる自然数X,Y,Zが存在する

よって
Wikipedia(エジプト式分数)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%B8%E3%83%97%E3%83%88%E5%BC%8F%E5%88%86%E6%95%B0
にある
「
2以上の自然数Nに対し、
4/N=1/X+1/Y+1/Z
は自然数解X,Y,Zを持つという予想
…
Nが840を法として1^2,11^2,13^2,17^2,19^2,23^2に合同な場合を除き,
予想が成り立つ事
」
が示されました。
次に
P=1(mod840)…に対して
(式2)P+a=(4ab-1)Cの自然数解を探す
エルデス・シュトラウス予想
http://www42.tok2.com/home/catbird/erudesu.html
の表で
1009=840+169
を探すと
N |(1)|(2)
1009|3|44
1009|5|26
1009|3|92
これはN=P,(1)=a,(2)=C
の意味なので
1009+3=(4*3*2-1)*44
1009+5=(4*5*b-1)*26
1009+3=(4*3*b-1)*92