面積の問題

質問

S=｛(x,y)│a≦x≦b, c≦y≦d｝
P=｛(x,y,z)│Ax+By+Cz+D=0, c≠0｝
T=｛(x,y,z)│(x,y)∈S, z=(-A/C)*x+(-B/C)*y+(-D/C)｝
Tはxy平面への射影がSとなるP上の平行四辺形。
Sの面積とTの面積比をA、B、C、Dで表すという問題の解法がわかりません。
面積比だから答えはA:Bのような形になるんでしょうか？
お願いします。

回答No.2

A-Tanaka · ベストアンサー

こんばんは。

Tについては、xyz空間上にある図形であり、そのことは問題に書かれていますよね？

ここで気がついてほしいのですが、Tにおいて、x,yはSと同じ物であるという条件が付されています。

さて、このような条件で解いて見れば分かるはずなのですが、Tにおいてzに関する式を解いてみましょう。つまり、問題の中にちゃんと答えが出ているのですよ！

お礼

Sの各頂点の座標が(a,c),(a,d),(b,d),(b,c)で
対応するTの各頂点の座標がx,yがSと同じだからzの式にあてはめて
｛a,c,(-A/C)a+(-B/C)c+(-D/C)｝
｛a,d,(-A/C)a+(-B/C)d+(-D/C)｝
｛b,d,(-A/C)b+(-B/C)d+(-D/C)｝
｛b,c,(-A/C)b+(-B/C)c+(-D/C)｝
になるということでしょうか？
zに関する式を解くという意味がよくわかりません。

回答No.4

age_momo

>(d-c)(b-a)√｛(-A/C)+(-B/C)+1｝となって、これがTの面積。

係数を2乗するのを忘れていますよ。
(d-c)(b-a)√｛(-A/C)^2+(-B/C)^2+1｝=(d-c)(b-a)√(A^2+B^2+C^2)/C^2
1：√(A^2+B^2+C^2)/C^2
あるいは
|C|：√(A^2+B^2+C^2)
だと思います。

お礼

たしかに2乗を忘れてたみたいです。
計算しなおしたらちゃんと答えが出せました。
本当にありがとうございます。

回答No.3

age_momo

>Tはxy平面への射影がSとなるP上の平行四辺形。

なのだから、SとTのそれぞれの対応する点のx座標、y座標は変わりません。よって
Sの四隅をQ(a,c,0),R(b,c,0),U(a,d,0),V(b,d,0)とするとTの四隅は例えばQなら
Q'(a,c,(-A/C)*a+(-B/C)*c+(-D/C))
へ変換されます。
↑Q'R'=(b-a,0,(-A/C)(b-a))
↑Q'U'=(0,d-c,(-B/C)(d-c))
からこの平行四辺形の面積は
↑Q'R'×↑Q'U'
外積計算で求まりますね。これが元の面積(b-a)(d-c)とどういう比率ですかと言う
問題でしょう。

お礼

Q'R'×Q'U'=｛(d-c)(-A/C)(b-a),(-B/C)(d-c)(b-a),(b-a)(d-c)｝で
平行四辺形の面積はその絶対値だから
(d-c)(b-a)√｛(-A/C)+(-B/C)+1｝となって、これがTの面積。
つまりSとTの面積の比は
S:T＝1:√(-A-B+C/C)となる。
一応計算してみたんですが、これで合ってるんでしょうか？

回答No.1

A-Tanaka

こんばんは。

あまり、難しく考えなくても大丈夫ですよ。
ヒントだけ差し上げます。
あくまでも、A、B、C、Dというのはパラメータです。まず基本的に考えてみましょう。各パラメータの値は、長方形に立ち戻って考えてみれば、各長方形の辺の長さに該当します。

つまり、各パラメータ間における写像を構成する図形の面積比になるのですから、そこまで考えてみればわかると思いますよ。

お礼

Sは長方形だから面積は(b-a)(d-c)ですよね。
ここからA、B、C、Dを使った形にどう変えればいいのかがわかりません。
それとTに関してはまずどこから考えるべきなのでしょうか。