連立方程式

質問

連立方程式
X+Y+Z=a
X+ωY+ωωZ=b
X+ωωY+ωZ=c
但し ωωω=1 ω≠0
という問題があるんですけど
aは求められるんですがbとcがωを含む値になってしまいます。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

take-yuさんに確認しますが、問題は正確に書いてありますか？？

［１］ この「方程式」で、
・求めたい未知数はa,b,cで、X,Y,Zは既知、ですか？
・それとも、求めたい未知数はX,Y,Zで、a,b,cは既知、なんですか？

> aは求められるんですがbとcがωを含む値になってしまいます。
という記載は、X,Y,Zを既知として未知数a,b,cを求めようとなさっている、としか読めませんが、もしそうならこれらの方程式は既にa,b,cについて解けているので、連立する意味がありません。おかしいです。

　これはX,Y,Zを求める問題じゃないか、と思われます。

　すなわち、a,b,c,ωを定数と考えて、
X+Y+Z=a　　　…(1)
X+ωY+ωωZ=b 　　　…(2)
X+ωωY+ωZ=c 　　　…(3)
は単なる３元連立１次方程式ということになります。式(2)か(3)の両辺にωかωωを掛けてみれば、簡単に解けますね。（ωωω=1を活用します。）
すると得られる解X,Y,Zにはa,b,c,ωが含まれていますが、これらは定数なので、それで構いません。

［２］「ω≠0 」？ ホントに？
ω≠1
の誤りではありませんか？

　そもそも
ωωω=1
という３次方程式は３つの解
ω=1, -(1/2)+i (√3)/2, -(1/2)-i (√3)/2
を持っています（iは虚数単位）。つまりω≠0なんて言う必要はないので、おかしいです。

　ω≠1であるとき、
(a) ω=-(1/2)-i (√3)/2 とするなら、ωω= -(1/2)+i (√3)/2　であり
(b) ω=-(1/2)+i (√3)/2 とするなら、ωω= -(1/2)-i (√3)/2　です。

　ですから、［１］で得られた解 (X=...., Y=...., Z=...)に含まれるωに、(a)か(b)を代入することによって、二通りの解が得られるわけですね。

補足

補足します
問題文に間違いが多すぎました
ω≠1で求めたいのはX,Y,Zです
ωω＋ω＋1を利用してXは求められるんですが
YとZはωを含む解となってしまいますがいいのでしょうか？

回答No.4

siegmund

> YとZはωを含む解となってしまいますがいいのでしょうか？

ωは単なる数ですから，含まれていてもいっこう構いません．
ωの代わりが例えば２だったら，解のどこかに２(あるいは，1/2 だとか...)が
含まれていても全然おかしくないでしょう．
ω= -(1/2)+i (√3)/2, -(1/2)-i (√3)/2
をいちいち書くのが面倒だからωと書いているだけで，
正体は単なる数(ただし複素数)にすぎません．

回答No.2

ymmasayan

＃１のymmasayanです。早とちりで質問を読み違えていました。

ｂ，ｃにωを含ませて考える方法とｙ，ｚにωを含ませて解く考え方があると思います。
ｂ，ｃにはωを含ませないが、未知数のｙ、ｚにはωが含まれてもよいと言うほうが自然のような気がしますが。（引っかけと言えなくもないですが・・笑い）

回答No.1

ymmasayan

これってひょっとするとすると三相交流の問題ではありませんか。

ｘ、ｙ、ｚはそれぞれ０度、２４０度、１２０度の各相のベクトルとします。ωは１２０度の回転を表します。
すると、ｘ＝ｘ、ｙ＝ωωｘ、ｚ＝ωｘと書けます。

ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｘ＋ωωｘ＋ωｘ＝２ｘ・・・（途中省略）
ｘ＋ωｙ＋ωωｚ＝ｘ＋ωωωｙ＋ωωωｚ＝３ｘ
ｘ＋ωωｙ＋ωｚ＝ｘ＋ωωωωｘ＋ωωｘ＝ｘ＋ωｘ＋ωωｘ＝２ｘ

ωは長さ１、角度１２０度の単位ベクトルですから、ω＝－１／２＋√３／２という複素数になるはずです。

見にくいですが、下記ＵＲＬの図７．５６（ｂ）のＥ１，Ｅ２，Ｅ３が三相交流のベクトル図です。

余計なことを書きすぎたかもしれませんが、ｙ、ｚがωを含むと言う事は当然だと思います。正しく解けていると思いますよ。

参考URL：

http://lib1.nippon-foundation.or.jp/1996/0448/contents/121.htm

お礼

ありがとうございます
YとZの解からωを消去する方法がどうしても分かりませんでした。ωは含まれてもよかったのですね