微積

質問

問．条件φ(x,y,z)=0　のもとで、関数ω=(x,y,z) の極値をとる点のおいて、次の等式を満たす定数λが存在することを証明せよ。
f_x=λφ_x 　，　 f_y=λφ_y 　，　 f_z=λφ_z

陰関数の微分法を使うのであろうと思うのですが、それを使ってどうやって証明するのかがわかりません。
どう解くのか、ヒントでいいので教えてください!

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

問の文章が乱れているので、次の意味だと解釈して、お答えします。

「x,y,zが条件φ(x,y,z)=0を満たしながら動くとき、　関数f(x,y,z)が点ω=(a,b,c) で極値をとるものとする。このとき、次の等式を満たす定数λが存在する。

[1] f_x(ω)=λφ_x(ω)， f_y(ω)=λφ_y(ω)， f_z(ω)=λφ_z(ω)

φとfは、R^3の中のωの近傍で定義された、連続的微分可能な関数とする。また、φ_x(ω)，φ_y(ω)，φ_z(ω)のうち、少なくともひとつは0でない。」

（方法１）

「fがωで極値をとる」という状況を幾何学的にイメージできるかどうかが、分かれ目になります。f(ω)=αとします。

　　[2] φ(x,y,z)=0で定まる曲面とf(x,y,z)=αで定まる曲面がωで接している

ということが、（厳密な証明は抜きにして）直感的に了解できるでしょうか？

上のことが了解できれば、あとは、次の方針で証明できます。

（１） [2]を証明する。
（２）　２つの曲面が接しているという前提で、[1]式を証明する。

なお、[1]式の含意は、φ_x(ω)，φ_y(ω)，φ_z(ω)の比がf_x(ω)，f_y(ω)，f_z(ω)の比が等しいこと、すなわち、φ(x,y,z)=0で定まる曲面のωでの接平面と、f(x,y,z)=αで定まる曲面のωでの接平面とが、一致するということです。

（方法２）

問題をきちんと味わうとい意味では方法１がお奨めですが、おっしゃるとおり、陰関数の定理を使って証明することもできます。便宜的に、φ_z(ω)≠0と仮定します。

陰関数の定理により、２変数関数ψ(x,y)が存在し、R^2の点υ=(a,b)の近傍で、φ(x,y,ψ(x,y))=0となります。そこで、g(x,y)=f(x,y,ψ(x,y))と置けば、「制約条件付で、f(x,y,z)がωで極値をとる」ことは、「制約条件無しでg(x,y)がυで極値をとる」ことと、同じ意味になります。このことから、[1]式が導かれます。

すなわち、g(x,y)がυで極値をとることから、g_x(a,b) = g_y(a,b) = 0です。また、h(x,y) = φ(x,y,ψ(x,y)) とすれば、これは、恒等的に0ですから、h_x(a,b) = h_y(a,b) = 0です。
一方、合成関数の微分法により

　　g_x(a,b) = f_x(a,b,c) + f_z(a,b,c)ψ_x(a,b)
　　g_y(a,b) = f_y(a,b,c) + f_z(a,b,c)ψ_y(a,b)
　　h_x(a,b) = φ_x(a,b,c) + φ_z(a,b,c)ψ_x(a,b)
　　h_y(a,b) = φ_y(a,b,c) + φ_z(a,b,c)ψ_y(a,b)

です。これらが全部0ですから、λ= f_z(a,b,c)/φ_z(a,b,c)とすれば、[1]式が成立します。

（蛇足）

すでにお気づきと思いますが、上の議論は、「ラグランジュの未定乗数法」の根拠となっているものです。