全微分可能の概念がいまひとつ分からないのですが

質問

全微分可能とは、大雑把にいえば全ての方向において微分可能ということですよね。
しかし、解析学の教科書では、
(△z-Ah-Bk)/(sqrt(h^2+k^2))→0 ((h,k)→(0,0))
（ただし、△z=f(a+h,b+k)-f(a,b))……(1) となるようなh,kに無関係な定数A,Bが存在するならば、関数f(x,y)は(a,b)において全微分可能と定めています。

ところで、１変数関数が微分可能の時は、
f(x+△x)-f(x)=(△f(x)/△x)△x であり、
これから、2変数関数が全微分可能の時は、
u(x+△x,y+△y)-u(x,y)=(△u/△x)△x+(△u/△y)△y
……(2) が成り立つことは、図を書いてみたりすると何となくわかる気がするのですが、(1)と(2)の連帯性が見えてこないのです。

ちなみに、複素解析では(2)を使っているので、 (2)を全微分可能の概念と考えておいたらいいでしょうか？この方が直感的に分かりやすい気がするので。(1)の概念
は抽象的でとらえにくい気がします。

回答No.1

KENZOU · ベストアンサー

１変数関数が全微分可能な場合、任意のxに対して
　f(x+△x)-f(x)=f'(x)△x＋o(△x)　(△x→0)　　(A)
でlim[△x→0](o(△x)/△x)=0です。o(△x)は△xの2次以上の非常に微小な項の足し算を纏めて書いています。このとき
　df=f'(x)dx　(dx≡lim[△x→0]△x）
を関数f(x)の微分と言っています。(1)式はいわゆるテーラ展開（→？？本サイトで検索-手抜き：笑い。また、参考URLも参照してください）ですね。
次に2変数の関数に対して同じようなことをやると
　u(x+△x,y+△y)-u(△x,△y)
　　=(△u/△x)△x+(△u/△y)△y＋o(ρ)　(ρ→0)　(B)
これもテイラー展開ですね。
　ρ=sqrt(△x^2+△y^2)でlim[ρ→0](o(ρ)/ρ)=0。o(ρ)
は上と同様に△x、△yの2次以上の微小項のかたまりです。このとき
　du=(∂u/∂x)dx+(∂u/∂y)dy　　(C)
を関数u(x)の全微分と言っています。(B)は整理するとご質問の(1)のことと同じですね。
結局、ご質問の
＞(1)と(2)の連帯性が見えてこない
は、同じものをいっているのです。つまり（B)での変位△x,△y（これは有限変位)を無限小変位とした（→0の極限をとったもの）が(C)になるというわけです。

＞(2)を全微分可能の概念と考えておいたらいいでしょうか
それでまったく問題ありません。

参考URL：

http://www-d.ige.solan.chubu.ac.jp/goto/docs/math/pm0idx.ssi

お礼

レスありがとうございます。今からやってみます。

補足

>>(1)と(2)の連帯性が見えてこない
>は、同じものをいっているのです。つまり（B)での変位
>△x,△y（これは有限変位)を無限小変位とした（→0の極
>限をとったもの）が(C)になるというわけです。

なるほど、よく分かりました。そういうことだったんですね。ありがとうございます。

全般的に、微分が、テイラー展開の2次以上の項を1次の項に比べて微少であるから無視する（表現が良くないと思いますが）点がポイントですね。テイラー展開の有用性が分かって、ちょっと嬉しい気がしました。