数II 微積 解説願い

質問

以下の問いを、微分して求めるやり方の解説をお願いします。

【問】
2次関数 f(x) の原始関数の1つを F(x) とする。
f(x) と F(x) が次の等式を満たすとき、f(x) を求めよ

F(x) = 1/3 (x-2) f(x) + f'(x) + 3
f(0)=1

解説では、恒等式の考え方で書いてあるのですが、そちらで求めた方が楽だということを聞き、やってみたのですが、どうしても出来ません。
解説をお願いします。

回答No.2

tksmsysh · ベストアンサー

f(x)は2次関数なので、
f(x)=ax^2+bx+c (a≠0)
とおける。
条件f(0)=1より、c=1。
f(x)=ax^2+bx+1より
F(x)=(a/3)x^3+(b/2)x^2+x+A
f'(x)=2ax+b
これらを条件F(x)=(1/3)(x-2)f(x)+f'(x)+3に代入すると、
(a/3)x^3+(b/2)x^2+x+A
=(1/3)(x-2)(ax^2+bx+1)+2ax+b+3
⇔2ax^3+3bx^2+6x+6A=2ax^3+2bx^2+2x-4ax^2-4bx-4+12ax+6b+18
⇔(4a+b)x^2+(-12a+4b+4)x+6A-6b-14=0
これがxの恒等式であるから、
4a+b=0
-12a+4b+4=0
6A-6b-14=0
これらより、a=1/7、b=-4/7
∴f(x)=(1/7)x^2-(4/7)x+1

お礼

助かりました。
ありがとうございました！

回答No.1

alice_44

F(x)= の式を両辺微分して、
そこへ f(x)=a(x-2)~2+b(x-2)+c を
代入してしまおう。