多変数の陰関数定理について

質問

こんにちは。f(x,y,z)=0,g(x,y,z)=0という2つの方程式であらわされる曲面で、y=φ1(x),z=φ2(x),という陰関数がある点の近傍において存在するためには、その点でfy×gz－fz×gy=/=0( fyはｆをyで偏微分という意味で=/=0は0でないという意味です。）が成り立たなければならないのはなぜですか？おしへてください。

回答No.1

metzner · ベストアンサー

きわめていいかげんですが、以下のような感じではないでしょうか?(用語いい加減かもしれませんが)

まずf(x,y,z)=0,g(x,y,z)=0できまる曲線の微小線素ベクトル?を考えます。この微小線素ベクトルを(dx,dy,dz)とします。すると以下を満たします。
f_x*dx+f_y*dy+f_z*dz=0
g_x*dx+g_y*dy+g_z*dz=0
題意はこの曲線がxでパラメータ表示できることですから
dy,dzはdxであらわせなければなりません。
上式を変形すると
|f_y f_z||dy| |f_x|
|g_y g_z||dz| =-|g_x|*dx

dy,dzがdxで一意にコントロールされるためには

|f_y f_z|
|g_y g_z|

が逆行列を持たなければならない。
よって

f_y*g_z-f_z*g_y=/=0

いい加減ですいません

お礼

回答ありがとうございます。f_x*dx+f_y*dy+f_z*dz=0
g_x*dx+g_y*dy+g_z*dz=0のところが少しわからないのですがなんとなく理解できました。

回答No.2

metzner

#1です。追加質問に補足しておきます。
f_x*dx+f_y*dy+f_z*dz=0というのはその線素ベクトル
が 曲面f(x,y,z)=0にのっているということです。
(f_x,f_y,f_z)は曲面の法線ベクトルですよね。
もしくわ
f(x+dx,y+dy,z+dz)=0
f(x,y,z)=0
より両辺をひきざんしてテイラー展開しても同じ結論です。

お礼

ありがとうございます。