数学IIIの問題です

質問

数学IIIの証明問題です
１番下の証明問題の解き方がわかりません。教えてください。おねがいします
問の文章は、
関数f(x)が微分可能であるとき、等式を証明せよ。です

回答No.1

alice_44

因数分解の公式
A^n - B^n = (A - B){ A^(n-1) + A^(n-2)・B + A^(n-3)・B^2 + … + B^(n-1) }
により、
{ (f(x+h))^n - (f(x))^n }/h
= { ( f(x+h) - f(x) )/h }・{ (f(x+h))^(n-1) + (f(x+h))^(n-2)・f(x) + … + (f(x))^(n-1) }。

両辺の極限 lim[h→∞] をとれば、
(d/dx)(f(x))^n = f’(x)・{ (f(x))^(n-1) + (f(x))^(n-2)・f(x) + … + (f(x))^(n-1) }
= f’(x)・{ n (f(x))^(n-1) }。
最右辺の { } の中に (f(x))^(n-1) となる項が何個あるか数えてみよう。