重積分の累次積分の順序変更について。

質問

∫[0→x]｛∫[0→1] x dx } dyの場合、ｄｘとｄｙを入れ替えると

ｘの領域とｙの領域はどのように計算すればいいのでしょうか？

∫[?→?]｛∫[?→?] x dy } dx

[?→?]の部分の計算の仕方を教えてください。

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

#3です。

A#3の補足質問の回答

添付図のように積分領域「0≦x≦y≦1」を
（1）の積分では、積分領域をX軸に平行な細い黄色の長方形に分割して積分を考えます。
ピンク色の一本の横に細い長方形の面積の積分(ピンクの長方形の範囲：0≦x≦y)を行い、
それをy方向に積み上げて積分領域全体を埋め尽くすように積分すれば良いでしょう.

(2)の積分では、積分領域をY軸に平行な細い黄色の長方形に分割して積分を考えます。
ピンク色の一本の縦に細い長方形の面積の積分(ピンクの長方形の範囲：x≦y≦1)を行い、
それをx方向に積算して積分領域全体を埋め尽くすように積分すれば良いでしょう.

（例１）について

∫[0→1]｛∫[x^2→x] f(x,y) dy } dx＝∫[0→1]｛∫[y→√y] f(x,y) dx } dy

領域の図を描いて、領域をｙ軸方向に細長い長方形に分割する図とx軸方向に細長い長方形に分割する図を描いて見て下さい。その図からdx,dyのそれぞれの積分の上限、下限を決めればいいでしょう。
左辺の領域：0≦x^2≦y≦x≦1
右辺の領域：0≦y≦x≦√y≦1
両方の領域を図示すれば、同じ領域になることが分かりますね。

（例２）について

∫[0→1]｛∫[x＾2→1] f(x,y) dy } dx　＝∫[0→1]｛∫[0→√y] f(x,y) dx } dy

領域の図を描いて、領域をy軸方向の細い長方形に分割する図とx軸方向の細い長方形に分割する図を描いて見て下さい。その図からdx,dyのそれぞれの積分の上限、下限を決めればいいでしょう。
左辺の領域：0≦x^2≦y≦1, 0≦x
右辺の領域：0≦x≦√y≦1
両方の領域を図示すれば、同じ領域になることが分かりますね。

お礼

info22さま

本当に丁寧で分かりやすいご説明、ありがとうございました。
いろいろな参考書や問題集を買って勉強をしていましたが、
領域の部分がどうしても理解できませんでした。
でも、今回のこの回答内容を見て、自分の中のつまずきが解消できて
とてもよく分かりました。

あとは、いろいろな問題をたくさん解いて、重積分をマスターします。
頑張って、一生懸命勉強します！！
本当に助かりました。
ありがとうございました。

回答No.4

alice_44

ほらね。
他の回答者も、全く同じ回答をしている。

回答No.3

info22_

積分領域を図示すると分かりやすいですね。

>∫[0→x]｛∫[0→1] x dx } dy

この積分領域は
X軸方向の範囲：0～1　(範囲固定）
Y軸方向の範囲：0～x (範囲の上限がx(固定ではない)
なのでこの積分Iは
I=∫[0→x]｛∫[0→1] t dt} dy ←　xの関数です。
と書いた方が誤解がなくて混乱しにくいでしょう。
tとyの積分順序を入れ替えると

I=∫[0→1]｛∫[0→x] t dy} dt

となりますね。

（参考）本当は次のような積分について積分の順序の入れ替え方の質問をしたかったのではないでしょうか？

最初の積分が
　I= ∫[0→1]｛∫[0→y] x dx } dy
であれば積分順序を入れ替えると
　I= ∫[0→1]｛∫[x→1] x dy } dx
となります。

補足

info22さま

とても分かりやすいご説明、本当にありがとうございました。
引き続き教えていただきたいことがあります。

（参考）本当は次のような積分について積分の順序の入れ替え方の質問をしたかったのではないでしょうか？

最初の積分が
　I= ∫[0→1]｛∫[0→y] x dx } dy　…(1)
であれば積分順序を入れ替えると
　I= ∫[0→1]｛∫[x→1] x dy } dx　…(2)
となります。

ぜひ、この場合のｘの領域とｙの領域の計算の仕方を教えてください。
(1)の時　0≦x≦y 0≦y≦1
(2)のようにdxとdyを入れ替えると、0≦x≦y≦1　という式から
　　　0≦x≦1 ｘ≦y≦1　　を導き出せばいいですか？

単純にxとyの領域を入れ替えるのではなく、dxとdyを入れ替えると、
xとyの領域が変わってしまう時の領域の計算方法がわかりません。

たとえば、

（例１）

∫[0→1]｛∫[x2→x] f(x,y) dy } dx　(x2はxの二乗）
＝∫[0→1]｛∫[y→√y] f(x,y) dx } dy　（√yはルートy)

（例２）

∫[0→1]｛∫[x2→1] f(x,y) dy } dx　(x2はx二乗）
＝∫[0→1]｛∫[0→√y] f(x,y) dx } dy　（√yはルートy)

info22さんが参考で書いてくれた問題や
（例１）（例２）のように、dxとdyを入れ替えると、
xとyの領域の数字が変わってしまう時の領域の計算方法をぜひ教えてください。
どのように計算したら、[0→1]、[y→√y]、[0→√y]などの領域が出てくるのでしょうか？
何度もすみません。

回答No.2

alice_44

しまった、ミスプリ。
= ∫[0→1] ∫[0→x] z dy dz
二種類の x を区別することが
キモであることは変わらないけれど。

お礼

丁寧に教えてくれて、本当にありがとうございました。
二種類の x を混同せず区別することが、まず大切なんですね。
ただ、この与式の場合は、単純にｙとｚの領域を入れ替えればよかったんですね。

実は私は、dxとdyを入れ替えると、
xとyの領域（範囲の数字）が変更する時の計算方法が、よくわかりません。
重積分って、難しいですね…。

回答No.1

alice_44

∫[0→1] x dx は、y について定数ですから、
∫dy の外へ括り出すことができます。
このとき、∫ x dx の x と y の積分範囲の x は、
同じ文字で書いてあるけれど別の物
であることを理解しておく必要があります。
∫ x dx の方の文字を置き換えて、
与式 = ∫[0→x] ∫[0→1] z dz dy
=｛ ∫[0→1] z dz ｝｛ ∫[0→x] dy ｝
=｛ ∫[0→x] dy ｝｛ ∫[0→1] z dz ｝
= ∫[0→1] ∫[0→x] dy dz

最右辺の z は、積分範囲の x と区別
しなくてはならないので、x に置き換えることは
できません。