次の累次積分の計算を教えてください。

質問

∫[1~√3]{∫[1~y]y(x^2 + y^2)^(-2)dx}dy

回答No.3

jcpmutura · ベストアンサー

符号が違います
pi√3/72 -(3-√3)/12
ではなく
(3-√3)/12-pi√3/72
です

[(1/2)/(x^2 + y^2)][y:x~√3]
ではなく
[(-1/2)/(x^2 + y^2)][y:x~√3]
です

∫[1~√3][∫{1~y}{y/(x^2+y^2)^2}dx]dy
=∫[1~√3][∫{1~y}{y/(x^2+y^2)^2}dx]dy
=∫[1~√3][∫[x~√3]{y/(x^2+y^2)^2}dy]dx
↓t=x^2+y^2,dt=2ydy
=(1/2)∫[1~√3]{∫[2x^2~x^2+3](1/t^2)dt}dx
=(1/2)∫[1~√3]{[-1/t]_[2x^2~x^2+3]}dx
=(1/2)∫[1~√3]{1/(2x^2)-1/(x^2+3)}dx
=(1/4)[-1/x]_[1~√3]-(1/2)(1/√3)∫[π/6~π/4]dt
=(1/4)(1-1/√3)-{(π/4)-(π/6)}/(2√3)
=(3-√3)/12-(π√3)/72

お礼

ご丁寧にありがとうございました。
自分の解答とあってたので安心です。

回答No.2

info33

No.1 です。

訂正です。

> I=∫[1~√3]{∫[1~y]y(x^2 + y^2)^(-2)dx}dy
> =∫[1~√3]{∫[1~y]y(x^2 + y^2)^(-2)dx}dy
> =∫[1~√3]{∫[x~√3]y(x^2 + y^2)^(-2)dy}dx
> =∫[1~√3]{ [(1/2)/(x^2 + y^2)] [y:x~√3]}dx
=∫[1~√3]{ [(-1/2)/(x^2 + y^2)] [y:x~√3]}dx
ここで - 符号をつけ忘れたので, 以降に波及します。
訂正してください。

> =∫[1~√3] (1/2){ 1/(x^2+3) -1/(2x^2)}dx
=∫[1~√3] (-1/2){ 1/(x^2+3) -1/(2x^2)}dx

> =[(1/2)arctan(x/√3)/√3+(1/4)/x] [x:1~√3]
=[(-1/2)arctan(x/√3)/√3-(1/4)/x] [x:1~√3]

> =(1/2)(pi/4-pi/6)/√3 +(1/4)(1/√3-1)
=(-1/2)(pi/4-pi/6)/√3 -(1/4)(1/√3-1)

> =pi√3/72 -(3-√3)/12
= -√3/pi/72+1/4 -√3/12
=0.03008745919...

回答No.1

info33

I=∫[1~√3]{∫[1~y]y(x^2 + y^2)^(-2)dx}dy
=∫[1~√3]{∫[1~y]y(x^2 + y^2)^(-2)dx}dy
=∫[1~√3]{∫[x~√3]y(x^2 + y^2)^(-2)dy}dx
=∫[1~√3]{ [(1/2)/(x^2 + y^2)] [y:x~√3]}dx
=∫[1~√3] (1/2){ 1/(x^2+3) -1/(2x^2)}dx
=[(1/2)arctan(x/√3)/√3+(1/4)/x] [x:1~√3]
=(1/2)(pi/4-pi/6)/√3 +(1/4)(1/√3-1)
=pi√3/72 -(3-√3)/12

補足

自分の自信のある解答と合いませんでした。
おそらくinfo33さんの間違えではないでしょうか。