重積分、積分順序

質問

重積分の問題で範囲が与えられているとします。
D=｛（ｘ、ｙ）l0≦ｘ≦1、ｘ≦ｙ≦1｝
とか。
その時に積分する順番ってｘからとかｙからとかきまってるんですか？
具体的にいうと
∫(x=0～1)｛∫(y=x～1) f(x,y)dy}dx
と
∫(y=x～1) {∫(x=0～1) f(x,y)dx}dy
では違いますよね？
積分順序を交換すると、また積分範囲を考えなおさないといけないですよね？

僕は勝手にｘの範囲は具体的にきまっており
ｙの範囲はｘによって変わるから
先に変数に左右されるｙの方を積分しないとだめなのかな？と思っていたんですが、それだと曲座標表示の時のE={(r,θ):0≦r≦a , 0≦θ≦π/2}の時みたいにｒもθも独立した範囲をもってるときはどっちからやろうがいいということなのかな？とおもったんですが・・・。
違うんでしょうか？

回答No.2

info22 · ベストアンサー

積分領域DをXY座標平面に描いてください。
その領域を過不足なく埋め尽くせるようにすれば積分順序はどちらでも良いですね。
yで積分してからxで積分する方法は
＞∫(x=0～1)｛∫(y=x～1) f(x,y)dy}dx
でOKです。Dの領域を過不足なく全てカバーしています。

＞∫(y=x～1) {∫(x=0～1) f(x,y)dx}dy
＞では違いますよね？
この式は全く駄目ですね。Dでの積分を無視した積分が全くわかっていない人の表現です。

最初期プロットしたDの領域から積分範囲を決めないといけないです。
xで積分してからyで積分する方法の場合は
∫(y=0～1) {∫(x=0～y) f(x,y)dx}dy
としないと駄目です。

回答No.3

info22

#2です。
A#2の後半の質問についての補足です。
極座標でも積分順序は、
「(r,θ)の積分領域Dを直交座標平面上にプロットして、その領域を過不足なくカバーできるようにrとθのそれぞれの積分範囲を設定」
しさえすれば、積分の順序はどちらが先でどちらが後でも構いません。

通常は、積分しやすい方の順序を選んで積分を実行します。

回答No.1

koko_u_

>その時に積分する順番ってｘからとかｙからとかきまってるんですか？
決まっていません。

>積分順序を交換すると、また積分範囲を考えなおさないといけないですよね？
そうです。
領域 D に渡って積分する際にまずどちらの変数に注目するかは好みと、計算のしやすさだけの問題です。

>僕は勝手にｘの範囲は具体的にきまっており
>ｙの範囲はｘによって変わるから
>先に変数に左右されるｙの方を積分しないとだめなのかな？と思っていたんですが
この例の場合は、その方が「計算しやすい」というだけで他に意味はありません。
テストなら、その方がミスが少なくてよいでしょう。

>それだと曲座標表示の時のE={(r,θ):0≦r≦a , 0≦θ≦π/2}の時みたいにｒもθも独立した範囲をもってるときは
>どっちからやろうがいいということなのかな？
これも領域のパラメータ化の方法が直交座標なのか、極座標なのかの違いだけです。
つまりは見た目の違いです。

いずれにせよ、計算がやりやすい方でやればよい。

暇な時に逆から計算してみて結果が一致していることを確かめたり、非常に複雑になって手に負えなくなったりしてみるのもよいでしょう。