累次積分について

質問

２本の半径aの直円柱が、その軸が直行するように交わるとき、その共有部分の体積Vを求めよ。
という問題ですがまず、領域D={(x,y)|x≧0,y≧0,0≦y≦x≦a}をf(x,y)=(a^2-x^2)^(1/2)として、この体積を16倍すれば体積Vが求められると考えたのですが、
(1)∫[0→a]{∫[y→a](a^2-x^2)^(1/2)dx}dyで積分する方法
(2)∫[0→a]{∫[0→x](a^2-x^2)^(1/2)dy}dxで積分する方法
で考えたのですが、(1)と(2)では答えが違いました。どちらが正しいのでしょうか？それとなぜ、間違っているほうでは正しい解答が得られないのかもどなたか教えていただけないでしょうか？

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>領域D={(x,y)|x≧0,y≧0,0≦y≦x≦a}をf(x,y)=(a^2-x^2)^(1/2)として、この体積
>を16倍すれば体積Vが求められると考えたのですが、
>(1)∫[0→a]{∫[y→a](a^2-x^2)^(1/2)dx}dyで積分する方法
>(2)∫[0→a]{∫[0→x](a^2-x^2)^(1/2)dy}dxで積分する方法
>で考えたのですが、(1)と(2)では答えが違いました。どちらが正しいのでしょうか？

(1),(2)とも正しいです。
(1),(2)で積分している立体の概形をプロットして添付しますので参考にして下さい。
図の△OACの内部が積分領域Dになります。立体DOACが(1),(2)の積分で求めている体積で
16倍すれば直交２円柱の共通部分の体積Vが求まります。

(1),(2)とも計算すれば、同じ結果
(1) =a^3/3
(2) =a^3/3
となります。

>なぜ、間違っているほうでは正しい解答が得られないのかもどなたか教えていただけないでしょうか？

答えが違うのは、単に質問者さんの計算間違いだと思います。
共通部分の体積Vは16倍して
　V=(16/3)a^3
となります。

お礼

やはりそうですよね？！(1)の方法の答えが間違っていました。もう一度トライしてみます。図まで丁寧に載せて頂いて感激です。回答ありがとうございました。

回答No.1

misumiss

あまり, 体積を求めることとは, 関係のない問題のようですね。

＞領域D={(x,y)|x≧0,y≧0,0≦y≦x≦a}をf(x,y)=(a^2-x^2)^(1/2)として、この体積を16倍すれば体積Vが求められると考えた
このように考えた理由を, 説明してください。

＞(1)と(2)では答えが違いました。
それぞれ, どういう答えになったのですか。

お礼

すみません。詳しい説明がなくて。当方現在、パソコンが使える状況ではなくて、スマホからの投稿で簡易的な質問になってしまいました。