重積分について

質問

∫dx∫dy∫dz exp[-(x2+y2+z2) / 2KT](1+x/c)の解を教えて欲しいのです。
　∫は-∞から∞です。x2,y2,z2はそれぞれ二乗です。
全然分からなくて困っています。
ただ、∫exp-(x2)dx = √πを使うとは思います。
どうか宜しくお願いします。

回答No.5

mmky · ベストアンサー

「∫dx∫dy∫dz exp[-(x2+y2+z2) / 2KT](1+x/c)の解」
参考に書いておきます。
(1+x/c)＝(1+x)/c としておきます。1+(x/c)だと係数直してください。

∫dx∫dy∫dz exp[-(x＾2+y＾2+z＾2) / 2KT](1+x/c)＝
｛∫exp-x＾2/2KTdx｝｛∫exp-ｙ＾2/2KTdｙ｝｛∫exp-ｚ＾2/2KTdｚ｝(1+x）/c
＝(1/c)｛∫exp-x＾2/2KTdx｝｛∫exp-ｙ＾2/2KTdｙ｝｛∫exp-ｚ＾2/2KTdｚ｝+(1/c)｛∫xexp-x＾2/2KTdx｝｛∫exp-y＾2/2KTdｙ｝｛∫exp-ｚ＾2/2KT
dｚ｝・・・・（1）
なぜなら、｛　｝の中は他の積分に無関係だから
∫exp-(x2/2KT)dx =∫exp-(x/√2KT)＾2dx x/√2KT=A と置換すると
=√2KT∫exp-(A)＾2dA =√2KT（√π）=√（2πKT）
（なぜなら：∫exp-(x＾2)dx =∫exp-(ｙ＾2)dｙ==∫exp-(z＾2)dz
=√π　だから。つまり、積分範囲が同じ、x,y,z の記号の違いだけですね。球体の式ですね。）
この関係を（１）に代入すると
（１）＝(1/c)｛√（2πKT）｝＾3
+(1/c)｛√（2πKT）｝＾2｛∫xexp-x＾2/2KTdx｝
だから｛∫（x/c)exp-x＾2/2KTdx｝項だけ計算すればいいよね。
B=x＾2/2KT　と置換すれば、
dB=2xdx/2KT だから
｛(1/c)∫xexp-x＾2/2KTdx｝=(KT/C)∫exp-BdB=(2KT/C)[-exp-B]
=(2KT/C)[-exp-x＾2/2KT] →0 (x＾2＞0故　-∞から∞で0)
ということで、
（１）＝(1/c)｛√（2πKT）｝＾3

(1+x/c)＝1+(x/c)だと（ちよっと不明なのでこの場合は、）
（１）＝｛√（2πKT）｝＾3

ということで、参考まで

回答No.4

mmky

追伸　＃2です。
ごめん！　ミスっていました。
＃4さんが正しい。
訂正まで

回答No.3

Chararara

x,y,zを速度vx,vy,vz、kをBoltzmann定数、Tを温度、指数の部分をMaxwell-Boltzmann分布と考えると、これは統計力学の問題ですね。
・・・とこれは問題には関係なかった。

求める式を
∫dx∫dy∫dz exp[-(x^2+y^2+z^2)/(2KT)](1+x/c)
=∫dx∫dy∫dz exp[-(x^2+y^2+z^2)/(2KT)]
+1/c∫dx∫dy∫dz x exp[-(x^2+y^2+z^2)/(2KT)]
（x,y,zの積分範囲は-∞から+∞）

と二つに分ける。すると第二項はxが奇関数、指数部分が偶関数なので、その積は奇関数となり、(xの)積分するとゼロになる。（分布が球対称なので、xの平均はゼロになる）

残るは第一項のみ。つまり、
=∫dx∫dy∫dz exp[-(x^2+y^2+z^2)/(2KT)]

これは、
∫da exp[-(a^2)/b] = √(bπ)
であることを使うと、答えは、

(√(2πkT))^3

となると思います。何か間違ってますか？

回答No.2

mmky

No1でヒントが出ていますので、計算の補足まで
｛∫exp-(x2)dx｝この積分形式は独立事象と考えればいいのです。
（さいころ確率の計算みたいなもの。ｘ,ｙ,ｚが独立事象）
∫exp-(x2)dx = √π　が分っている。そして「独立事象の掛け算」と考えれば第1項は係数になります。第2項はｘが掛かっていますが、ｙ,zは預かり知らぬことということで計算できます。
問題式＝（1/2KT)（√π）＾3　+（1/2KTC))（√π）＾2∫dx xexp[-(x2)]
ということで、積分するのは、「∫dx xexp[-(x2)]」の式だけですね。
「∫dx xexp[-(x2)]」も置換すれば同じ形式の式になります。
＝（√π）＾3｛（1/2KT)　+（1/4KTC)｝
ということで、
参考までに、

回答No.1

brogie

ヒントです。 1/2KTは省いています。
∫dx∫dy∫dz exp[-(x^2+y^2+z^2)](1+x/c)
＝∫exp(-x^2)(1+x/c)dx∫exp(-y^2)dx∫exp(-z^2)dz
＝[∫exp(-x^2)＋(1/c)∫exp(-x^2)xdx]∫exp(-y^2)dx∫exp(-z^2)dz
・・・・
後はご自分で計算して下さい。