重積分に対する自分の解き方はアリ？

質問

重積分
　∫∫[R] x dx dy
の値は次のどれか。
ただし、領域Rを
　0<=x<=1
　0<=y<=√(1-x^2)
とする。

正解は1/3で、自分は正解できたんですけど、本の解答は「x=sinθと置くと、xの範囲0<=x<=1に対して、0<=θ<=π/2となり、…」のように三角関数をバリバリ使っていました…。

解析は昔に勉強してたんですが、最近使ってなくて、x側からとy側から積分する、というのだけ覚えていました。
自分の解き方「も」正解なのか確認してほしいです。
以下の解き方も合っていますか？
###### 自分の解き方 （解いてる最中のメモ付き）######
あれ？内側から計算すると思ってたんだけど、
yの範囲にxが混ざってるんで外側からになっちゃった：

∫[0,√(1-x^2)] y dy
=[(1/2) y^2][0,√(1-x^2)]
=(1/2)[{√(1-x^2)^2} - {0^2}]
=(1/2)[{1-x^2} - 0]
=(1/2){1-x^2}
=(1/2) - (1/2)x^2

∫[0,1]{(1/2) - (1/2)x^2} dx
=∫[0,1](1/2) dx - ∫[0,1] (1/2)x^2 dx
=(1/2) ∫[0,1] 1 dx - (1/2) ∫[0,1] x^2 dx
=(1/2) [x][0,1] - (1/2) [(1/3) x^3][0,1]
=(1/2) [1 - 0] - (1/2)(1/3) [1^3 - 0^3]
=(1/2)(1) - (1/6) [1 - 0]
=(1/2) - (1/6)(1)
=(3/6) - (1/6)
=(3-1)/6
=2/6
=1/3　→選択肢②が正解
######

回答No.1

maskoto · ベストアンサー

銃積分は必ずしも内側からではありません
意味を考えて計算するとそのような間違いをしなくて済むと思います

与式においては、Z＝xであり
与式が指すのは立体の体積:Vです！
この立体の体積Vを微小分割した体積をdVとすると
xdxdy＝Zdxdy＝Zdydx＝dVと言う事になるから
与式はdVの積分であり、dVの全合計＝V
を求めると言う意味になります

そこで、まずは、位置(x、y)における立体の高さをZとおく
今回はyの範囲にxが混じってるので
立体をZx平面に平行に厚さdyの超薄切りにスライスすると
スライス1枚の断面積はZdy
∫[0≦y≦√1−x²]Zdy…①として積分すると
これは位置xにおける薄切りスライス1枚の断面積
①にdxを掛け算すると、それは位置xにおける超薄切りスライス1枚の体積
それをx＝0〜1の範囲で積分すると求める体積＝重積分の答え
と言う事になります
(この逆に重積分の内側(x)から計算してしまうと
該当の体積を求める事にはならない事がわかります！)

これを踏まえ
与式から
∫[0,√(1-x^2)] Z dy
＝∫[0,√(1-x^2)] y dy
をまずは計算
後は貴方の計算通りで良いと言う事になります

お礼

ベストアンサーを差し上げます。

必ずしも内側からではないんですね。
範囲に変数が混じっている方から解けばいいんですね。
スライスのイメージが湧きました。
とにかく、三角関数使わなくても解けると知れてよかったです。
（これから三角関数使う方も勉強しますけれども。）
ご回答ありがとうございました！

回答No.3

gamma1854

いいのですが、途中は要所だけを書いてください。
∫[0~1]{∫[0~√(1-x^2)]xdy}dx
=∫[0~1]x*√(1-x^2) dx
=(-1/3)*[(1 - x^2)^(3/2)]
=1/3.
------------
他人に見せる場合はこれだけでOKです。

お礼

私は他人に見せる時こそ、細かく見せるべきかなと思っています。あまりに端折ると、（丸投げというか）ミスをした時にどこでミスをしたか指摘しにくくないですか？
とにかく、私の解き方でも良さそうで助かりました。
ご回答ありがとうございました。

回答No.2

maskoto

先程の投稿の補足説明です
(＊印の一文を足しました)

そこで、まずは、位置(x、y)における立体の高さをZとおく
今回はyの範囲にxが混じってるので
立体をZx平面に平行に厚さdyの超薄切りにスライスする
＊これらのスライスに、今度は、更にyZ平面に平行に包丁を入れる
このとき、yZ平面の方から観た
(x、y)におけるスライス1枚の断面積はZdy

以下
「∫[0≦y≦√1−x²]Zdy…①として積分すると」
の文へ移って読んで下さい

(不明な点があれば補足コメント下さい)