弦の振動の問題です

質問

一様な太さのゴムひもの両端をひっぱり、中間をはじくと音がする。同じところを持ったまま引っ張り具合をいろいろ変えて、異なる長さで音を出しても、ある範囲ではその高さは同じであった。この範囲で張力と長さは比例関係に、ゴムは伸ばしても体積は変わらないとしたら、単位面積当たりの張力は長さの２乗に比例することを説明せよ

＞異なる長さで音を出しても、ある範囲ではその高さは同じであった
これから振動数ｆ一定

＞中間をはじくと
これから波長λは弦の長さＬの1/2

以上のことと張力Ｔをどのように結び付けていったらよいかわかりません

どなたか詳しい解説よろしくお願いします

回答No.1

BookerL · ベストアンサー

波長 λ と振動数 ｆ と 弦を伝わる波の速さ ｖ の間には　ｖ＝ｆλ の関係があります。

　振動数 ｆ が一定ですから、ｖ は λ に比例します。そして、「中間をはじく」ということで、ここでの振動は基本振動ですから、弦の長さを Ｌ とすると、λ＝２Ｌ で、λは Ｌ に比例します。よって、ｖ は Ｌ に比例します。そこで、

ｖ＝ａＬ　　……(1)

と置いてみます。（ａは比例定数）

　弦を伝わる波の速さは、 弦の張力を Ｔ、弦の線密度（単位長さあたりの質量）を ρ とすると、

ｖ＝√(Ｔ/ρ)
（http://www15.wind.ne.jp/~Glauben_leben/Buturi/Hadou/Hadoubase5.htm　などを参照）

なので、Ｔについて解くと

Ｔ＝ρｖ^2　　……(2)

「ゴムは伸ばしても体積は変わらない」とすると、ρ は Ｌ に反比例しますから、

ρ＝ｂ/Ｌ　　……(3)

と置けます。（ｂは比例定数）

(1) と (3) を (2) に入れると

Ｔ＝ａ^2ｂＬ　　……(4)

となり、「張力と長さは比例関係」が示されます。

　断面積を Ｓ とすると、Ｓ は Ｌ に反比例するので、

Ｓ＝ｃ/Ｌ　　……(5)

と置け、これで (4) の両辺を割ると

Ｔ/Ｓ＝(ａ^2ｂ/ｃ)Ｌ^2

となって、「単位面積当たりの張力は長さの２乗に比例する」が示されます。