弦を伝わる横波の波動方程式

質問

（１）ｘ～ｘ＋Δｘにある線密度σの弦の一部分の運を考察する。ｙ方向の変位をｙ（ｘ,ｔ）とし、弦の張力をＴとすると、弦の一部分に働く力のｙ成分がＴ∂＾２ｙ/∂ｘ＾２・Δｘと書けることを示せ。

（２）弦の一部分の振動を表す運動方程式を求め、それが波動方程式になることを示せ。

（３）弦を伝わる横波の伝播速度を決定する物理量は何か。

（４）ギターの弦が細いとき、音が高くなる理由を考えよ。

テスト前なのに分からないので教えていただきたいです。
お願いします。

回答No.1

ereserve67

（１）xの部分のx軸と弦の接線のなす角をθ(x)とするとθは微小だから

∂y(x)/∂x=tanθ(x)≒sinθ(x)

σ⊿xの部分の

xのところでは-Tsinθ(x)≒-T∂y(x)/∂x
x+⊿xのところではTsinθ(x+⊿x)≒T∂y(x+⊿x)/∂x

よってσ⊿xに働く力のy成分は

-T∂y(x)/∂x+T∂y(x+⊿x)/∂x

T{∂y(x+⊿x)/∂x-∂y(x)/∂x}

≒T(∂^2y/∂x^2)⊿x

（２）（１）より

σ⊿x∂^2ｙ/∂t^2≒T(∂^2y/∂x^2)⊿x

⊿x→0として

σ∂^2ｙ/∂t^2=T∂^2y/∂x^2

c=√(T/σ)とおくと，

(1/c^2)∂^2ｙ/∂t^2=∂^2y/∂x^2

これは速さｃの波動方程式です．

（３）（2）より波動の伝わる速さはc=√(T/σ)で，弦の張力Tと線密度σで決まります．

（４）振動数νは

ν=c/λ=√(T/σ)/λ∝1/√σ

張力と波長が一定なら振動数は線密度σが小さいと音が高くなります．

弦の長さ=L
弦の断面積=A
弦の体密度=ρ

とすると

σ=ρA/L

ですから，ρ一定（材質一定），L一定ならσはAに比例します．細いほどAが小さく，音が高くなります．