物理の問題を教えてください。

質問

平衡状態では x 軸に沿って一様な大きさ T の張力で張られているひもを考え、これを x－z 平面内で微小振動させる。ひもの線密度 λ は一様で、ひもの各点は z 方向のみに運動するものとし、張力の大きさ T は振動に際して一定であると近似できるとする。また、任意の時刻 t において、x 座標が x であるひもの点の z 座標を ζ(t,x) とするとし、ひもに働く力は張力だけであるとする。平衡状態において中心の x 座標が x であり長さが微小量 Δx であった微小領域をひとつの質点系とみなすことにより、ひもの運動量保存則に関して以下の問に答えよ。
微小領域について運動量保存則の Δx→0 の極限で得られる方程式を求めよ。

回答No.1

yokkun831

xにおけるひものx軸からの角度θ=θ(x)とすると、
sinθ≃tanθ=∂ζ/∂x
復元力は、
- Tsinθ(x-Δx/2) + Tsinθ(x+Δx/2)
= - T [∂ζ/∂x｜_{x-Δx/2} - ∂ζ/∂x｜_{x+Δx/2}]
→ - T ∂^2ζ/∂x^2・Δx　（Δx→0）

したがって、求める方程式は
λΔx ∂^2ζ/∂t^2 = - T ∂^2ζ/∂x^2・Δx
↓
λ∂^2ζ/∂t^2 = - T ∂^2ζ/∂x^2
ｔとなります。