方程式の解について

質問

f(x)=x^4+x^3+(1/2)x^2+(1/6)x+1/24
g(x)=x^5+x^4+(1/2)x^3+(1/6)x^2+(1/24)x+1/120
(1)　すべての実数xについて、f(x)>0を示せ。
　これは式を変形することで分かりました。
(2)　g(x)=0 はただ1つの実数解αをもち、-1<α<0を示せ。
　(1)を利用すると思うが、利用の仕方が分かりません。
　しかたないので、微分してグラフで考えようとしましたが、
　３回微分してg'''(x)>0、だからg''(x)は単調増加で-1と0の間でx軸と交わる
　この解をβとして、・・・・・とやりましたが挫折、たぶんこれは本質の解法
　ではないと感じました。それでやっぱり、(1)を利用するのだろうが、見当が
　つきません。よろしくお願いします。

回答No.6

tmpname · ベストアンサー

では：

x=0は明らかにg(x)=0を満たさないので、y=1/xとする。
この時x=1/y
よって、
g(x)=(1/y)^5+(1/y)^4+(1/2)*(1/y)^3+(1/6)(1/y)^2+(1/24)(1/y)+1/120
(y^5)g(1/y)=(1/120)(y^5)+(1/24)y^4+(1/6)y^3+(1/2)y^2+y+1
であって、これをh(y)とおけば,
h'(y)=(1/24)y^4+(1/6)y^3+(1/2)y^2+y+1
=(1/24)(1/x)^4 + (1/6)(1/x)^3 + (1/2)(1/x)^2 +(1/x)+1
(x^4)h'(y)=f(x) > 0 ( (1)より )であるから、h(y)>0
よって、h(y)は単調増加、h(-1)=(1/2-1/6)+(1/24-1/120)>0,
h(-120)=-(120^4-5*120^3)-(20*120^2-60*120)-(120-1)<0より、
h(y)は[-120,-1]の間にただ一つ解を持つ。
よって、f(x)は[-1, -1/120]の間にただ一つ解を持つ。

お礼

回答ありがとうございます
f(x)の使い方わかりました。
一筋縄にいかない見方だなぁと
思いました。

回答No.8

stuff_ppo

(1)を使って解いてみました。

　---

　g(x) = xf(x) + 1/120 … (*)
ですので、h(x)を
　h(x) = g(x) - 1/120 = xf(x)
と置きます。

さて、f(x)は常に正ですので、h(x)の正負はxに依ります。
すなわち、
　x > 0のとき、h(x) > 0
　x = 0のとき、h(x) = 0
　x < 0のとき、h(x) < 0
となり、y = h(x) のグラフは、x軸とただ一点原点でのみ交わる事が分かります。

y = g(x) のグラフは、(*)より、
y = h(x) のグラフをy軸方向に + 1/120 平行移動したものですが、
y = h(x) のグラフが
　x ≧ 0 のとき h(x) ≧ 0、
　h(-1) = -3/24 < -1/120
ですので、
x < 0 の範囲で h'(x) > 0 (単調増加) であれば、
これをy方向に+1/120平行移動した y = g(x) は、
(-1, 0) の範囲でただ一度x軸と交わる事が分かります。

実際 h'(x)を計算すると、
　f'(x) = 4x^3 + 3x^2 + x + 1/6
　h'(x) = f(x) + xf'(x)
　　　　(中略)
　　　　= 5(x^2 + (2/5)x)^2 + (7/10)(x + 5/21)^2 + 1/504 > 0

(証明終)

　---

と、喜びにひたっていたのですが、
なんと平方完成のみでも解けるようです。
http://www.j3e.info/ojyuken/math/php.php?name=tokyo&v1=1&v3=1&v4=1&y=1994&n=1

お礼

回答ありがとうございます
(1)は平方の和の形にした解答をしたのですが
(2)も微分に対して平方の和を考える方法もあるのですね。
ただ、解法としてはstuff_ppoさんの考え方が良いと思いました。

回答No.7

tmpname

最後はg(x)=0は[-1, -1/120]の間にただ一つ解を持つ。
ですね。いかんなあ...

回答No.5

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

No.2 訂正です。

というか、

> f(x) は常に正なので、α、βはいずれも負の数。

よりあとは間違っています。
失礼しました。

それより前は、書いてあることは間違ってないでしょうけど、回答の流れには多分乗ってないです。

回答No.4

tmpname

(y^5)*g(1/y)ですね...申し訳ありません

回答No.3

tmpname

(1)が解けたのでしたら、(2)はx=0は明らかにg(x)=0を満たさないので、
x=1/yとおいて(y^5)*g(y)を計算し、これをh(y)としてh(y)を微分すると
(1)の形が見えてくるはずです。この問題の背景には、e^xのいわゆる
「Taylor展開」をすると、この形が見えてくることがあります
（「Taylor展開」は大学で習います）

昔解いたなあ、と思って調べてみたら、東京大学の1994年の数学（理系）の
第一問でしたね。

お礼

回答ありがとうございます
x=1/yとおいて(y^5)*g(y)を計算し、これをh(y)としてh(y)を微分すると
(1)の形が見えてくるはずです。
やってみましたが、まだ見えていません。
(y^5)*g(y)の意味がよくわからないので、もしも(1)と関連づけられても
解答にはたどり着けないような気がしています。

回答No.2

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

なんか、美しくないけど。

g(0) = 1/120 > 0
g(-1) < 0

故に、-1 から 0 の間に少なくともひとつの解がある。

また、
g(x) = xf(x) + 1/120
だから、g(x) = 0 が異なる解 α、β を持つとすると、
g(α) = αf(α） + 1/120 = g(β） = βf(β） + 1/120 = 0

f(x) は常に正なので、α、βはいずれも負の数。

g'(x) = 5x^4 + 4x^3 + (3/2)x^2 + (1/3)x + 1/24
g'(0) = 1/24 > 0 …… (1)

g''(x) = 20x^3 + 12x^2 + 3x + 1/3
g''(0) = 1/3 > 0 …… (2)

g'''(x) = 60x^2 + 24x + 3
g'''(x) = 0 とおいたときの判別式 ＜ 0なので、
g'''(0) は、正 …… (3)

(3) と、(2) から、g''(x) は、x < 0 の範囲で正である。…… (4)
(4) と、(1) から、g'(x) は、x < 0 の範囲で正である。 …… (5)
∴ g(x) は、x < 0 の範囲で単調に増加する。
すなわち、ともに負である異なるα、βで、g(x) がゼロになることはない。
つまり、g(x) = 0 の解はひとつしか存在しない。

回答No.1

noname#136000

あんまり自身ないのですが・・・

g(x) = f(x) * x + (1/120)

ですよね。
ここで「f(x)=A」と置くと、

g(x)=A * x + (1/120)

つまり、

y = A * x + (1/120)・・・(1)

これは傾きがＡの直線ですよね。
ちなみに、ｙ軸と交わる点が1/120です。
しかも、Aは正であることが分かっている。
つまり、右方上がりです。

> g(x)=0 はただ1つの実数解αをもち、-1<α<0を示せ。

これはつまり、上の直線において、「x = -1」の時に、ｙ < 0であることを示せばいい。

式(1)のｘに-1を代入すると、

y = -A + 1/120

つまり、

y = -f(x) + 1/120

このyの値が負であることが証明できますか？
できれば、めでたしめでたし・・・

お礼

回答ありがとうございます
y = -f(x) + 1/120
このyの値が負であることが証明できますか？

この部分で、-1<x<0 で考えればよいと思うのですが、
それが示せたとすると、xは1つだけでなく、無数に
存在することになってしまうのでないかと思いました。