2次方程式の解の個数

質問

【問題】x^2-x-a=0…(1)，x^2+ax-1=0…(2)について、(1)が2つの実数解をもつとき、(1)の2つの解の間に(2)の解がただ1つあるようなaの値の範囲を求めよ。

(1)の解をα,β.(2)式をf(x)とおいて(1)f(α)×f(β)<0，(2)f(α)=0かつ…
という風に進めるのかなとは思ったのですが、意外と場合わけが多くて頓挫してしまいました。

どなたか教えていただけませんでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

take008 · ベストアンサー

学年が書いてないので，大学入試レベルとみなしてアドバイスします。
(1)は ｘ^2－ｘ＝ａ と同値です。
(2)は ｘ＝０ を解にもたないので，－ｘ＋１/ｘ＝ａ と同値です。
ｙ＝ｘ^2－ｘ および ｙ＝－ｘ＋１/ｘ のグラフと 直線 ｙ＝ａ の共有点のｘ座標がそれぞれの方程式の解です。
グラフを描けば一目瞭然ですが，ｙ＝－ｘ＋１/ｘ のグラフ（ｘ＝０ と ｙ＝－ｘ を漸近線にもつ双曲線）わかりますか。

お礼

ありがとうございました！
この問題は色々解き方があるようですね。
全員の方のやり方で解いて、納得してみて、
数学の深さを知ったような気がします。

それにしても、鋭い切り口ですね！
ビックリしました！！

計算でねじ伏せる力も必要だけど視点を変えるのも必要なんですね(^^;)

本当にありがとうございました。

回答No.4

postro

やりかたはそれでいいように思います。f(α)=0　または　f(β)=0　のときのことは次のように解決できそう。
x^2-x-a=0…(1)
x^2+ax-1=0…(2)
(1)の解をα,β.(2)式をf(x)とおいて　f(α)×f(β)<0　とすると
中略（解と係数の関係を使うと計算はそれほどでもない）
f(α)＊f(β)=-a(a^2+3)<0　・・・（３）
よって　0<a
ここでf(α)=0　または　f(β)=0　のときはf(α)＊f(β)=0　だから
３）式が０になるのは　-a(a^2+3)=0 より　a=0 のときのみである
a=0のときは１）式の解（０と１）の間に２）式の解（-1と1）は1が一つあるので、求めるaの範囲は ０≦a

お礼

ありがとうございました！
この問題は色々解き方があるようですね。
全員の方のやり方で解いて、納得してみて、
数学の深さを知ったような気がします。

計算でねじ伏せる力も必要だけど視点を変えるのも必要なんですね(^^;)

本当にありがとうございました。

回答No.3

endlessriver

結構大変のよう。(2)の式は必ず2根を持ちます。
ここは順当に2式の各根を求めます。

(1)の２根をa1>a2．(2)の２根をb1>b2とします。
ここで(a1-b1)(a2-b2)を考えると、これが正のときa1とa2の間にb1かb2が入り他方が、範囲外に出ます（考えて見て下さい）。

これを解くとアッと驚く簡単な条件です。これは(1)が２根を持つ条件も含んでます。

お礼

ありがとうございました！
この問題は色々解き方があるようですね。
全員の方のやり方で解いて、納得してみて、
数学の深さを知ったような気がします。

計算でねじ伏せる力も必要だけど視点を変えるのも必要なんですね(^^;)

本当にありがとうございました。

回答No.1

Deerhunter

グラフを書いてみましょう。
解の公式を使いましょう。

（１）式のx軸と交わる２点（実数解）が　a　で表せます。
その２つの解の間に　（２）の重解の点（放物線の頂点とｘ軸との接点、a　を含む式になる）があることになり、不等号２つですむはずです。

お礼

ありがとうございました！
この問題は色々解き方があるようですね。

本当にありがとうございました。