３次方程式の異なる解の個数

質問

－x^3＋3x^2－1＝0
の異なる実数解の個数を求める問題で、テストで以下の答案を書いたらバツになりました。根本的に間違っているのでしょうか？それとも、答案の書き方がマズかったのでしょうか？？
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－1＝x^3－3x^2
と変形する。
f(x)＝x^3－3x^2　とおくと、
f'(x)＝3x^2－6x
3x^2－6x＝0　とおくと、
x＝0，2　である。つまり、f(x)はx＝0，2で極値をもつ。
f(0)＝0
f(2)＝－4である。
y＝x^3－3x^2　と　y＝－1が何個の異なる点で交わるかを調べる。
f(2)＜－1＜f(0)　より、３個の異なる点で交わる。
よって異なる実数解の個数は３個。

回答No.5

BK2Sat · ベストアンサー

「x＝0，2　である。つまり、f(x)はx＝0，2で極値をもつ。」とは言えない。

増減表を書いて、f'(x)=0となる点の前後で符号が変わるかどうかを確かめないと「極値を持つ」とは言えません。「x＝pで極値を持つならばf'(p)=0」は常に真ですが、その逆はかならずしも真ではありません。

また、全体に説明不足です。増減表とグラフをかくべきでしたね。３次関数のグラフになるんだから、形はわかりきっているわけですが、そこをきちんと述べないといけません。h-stormさんは、ちゃんとこの問題を解く力があるのですが、それを答案にする力が少し不足していたというわけです。きちんとした解答を書くのも練習がいります。そして、ちゃんと気をつけて練習していけばその力はついていきます。次のテストではそこもがんばってくださいね。
微分問題では増減表はつきものだと思ってください。また、微分に限らず、グラフが出てくる問題は必ずグラフをかくようにしましょう！

お礼

十分条件ですので、ちょっと答え方がマズかったですね。。

回答No.4

hpsk

「f(x)は３次関数である」ことを明記しておけば問題なかったのでは、と思います。

一般に、ある関数が
「f(x)はx＝0，2で極値をもつ」ことと、
「f(2)＜－1＜f(0)」であることを言っただけでは、交点が３つであることの根拠にはなりません。これは#1,#2の方々が言われている通りです。

f(x)が「x=0で極大値0」をとり、「x=2で極小値-4」をとる「3次関数」であることを言って、初めて十分な根拠といえるのではないでしょうか。

「３次関数であること根拠にしていることなんて書かなくてもわかるでしょ」という意見もあるかもしれませんし、私自身、このへんはグレーゾーンな気もするのですが、
採点者に「あ、こいつは勘違いをしているな」と思われても仕方がないかもしれません。
学校の試験なら、大学受験の本番でつまらない減点をくらわないように、厳しめに採点するかもしれませんのでなおさらです。

それと、これは個人的に気になったのですが、
「f(x)はx＝0，2で極値をもつ」ことも「３点で交わる」ことの根拠であることは、もっとわかりやすくしておくべきだと思います。
一瞬「え、これはどこで使ってるの？」と思ってしまします。

お礼

ありがとうございます。
この答案だと減点があるということですね。

回答No.3

quantum2000

ご質問のテストがどういう類のものか、はっきりは判りませんが、もしこの問題が高校「数学２」の微分の応用問題だとしたら、質問者の書かれた「答案」は「間違いや不備は含んではいない」と思われます。

そして、テストでこの「答案」を書いたらバツをもらったと書かれていて、全くの０点だったということか、または何点かの減点をされたということか、これも判りませんが、この「答案」が減点された（または０点だった）理由は、元の式を変形して微分したから、くらいしか思いつきません。

この問題では元の式の中にｘ以外の変数が入っていませんから、N0.２さんの「回答」にあるように、元の式を変形しないでそのまま左辺の式の関数を微分すれば、実数解が３個あることが示せると思います。（N0.２さんの「回答」にあるような「単調増加」とかの議論はいらないと思いますが。）

質問者の「答案」にあるような最初の式変形は、例えば
　　aを定数として、３次方程式 －x^3＋3x^2－a＝0
　　の実数解はいくつあるか？
といった問題のときに、与式を
　　－x^3＋3x^2＝a
と最初に式変形をし、この左辺を
　　f(x)＝－x^3＋3x^2
とおいて、微分を使い、右辺の定数関数
　　y＝a
との共有点の個数として解いていく・・・
といった問題に使う式変形ではないでしょうか？
（決して間違った式変形ではない訳ですが。）

減点の原因は、書かれている内容の範囲ではこのくらいしか思いつきません。あとは、担当の先生に直接聞いてみるしかありませんね！！　スミマセン！

なお、ご質問の内容には直接関係はありませんが、No.１さんが最後に書かれている「f(2)<-1 かつ x>2でf(x)は単調増加 なので、x>2 で解を１つ持つ。」という議論は、確かに「怪しい」です。
一般的には、「(強意に)単調増加であっても、有界でない」とは言えませんから、この議論だけでは解があるとは言えません。
もし、こうしたところまで議論するのであれば、No.２さんが書いているとおり、「 f(2)＞0，f(＋∞)＜0 で，増減表よりこの区間では(強意に)単調増加。したがって，この区間で f(x)＝0 なる x が(ただ１個)存在するから，f(x) はこの区間で実数解を(ただ)１個持つ。」としたほうが「怪しくない」と思います。（なお、f(＋∞) という表現はあまり適切ではないと思いますが・・・）
以上ご参考までに。

お礼

数２の内容ですが、部分点はもらえませんでした。
とりあえず普通に微分していったやり方でやればいいですよね！！

回答No.2

elttac

この手の問題の解き方は一定の手順がありますが。お示しの解答は若干論理に抜けがあるようです。以下，解答してみます。
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f(x) ＝ －x^3 ＋ 3x^2 － 1
とおく。微分すると，
f'(x) ＝ －3x^2 ＋ 6x
以上から，f'(x) ＝ 0 となるのは x ＝ 0，2。
--
ここまではお書きの方法とほぼ同じです。そのあと，「増減表」を作って f(x) の動きを示します。
--
x　　 | －∞ ……　0 …… 2 …… ＋∞
f'(x) | 　　　　－　　　　＋　　　　－
f(x) 　| ＋∞ 減少 -1 増加 3 減少 －∞
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ここで，－∞ ＜ x ＜ 0，0 ＜ x ＜ 2，2 ＜ x ＜ ＋∞ の 3 つの区間に分けて f(x) の動きを吟味します。
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1) －∞ ＜ x ＜ 0
f(－∞）＞ 0，f(0) ＜ 0 で，増減表よりこの区間では単調減少。したがって，この区間で f(x) ＝ 0 なる x が存在する。よって，f(x) はこの区間で実数解を 1 個持つ。
2) 0 ＜ x ＜ 2
f(0) ＞ 0，f(2) ＜ 0 で，増減表よりこの区間では単調増加。したがって，この区間で f(x) ＝ 0 なる x が存在する。よって，f(x) はこの区間で実数解を 1 個持つ。
3) 2 ＜ x ＜ ＋∞
f(2) ＞ 0，f(＋∞) ＜ 0 で，増減表よりこの区間では単調減少。したがって，この区間で f(x) ＝ 0 なる x が存在する。よって，f(x) はこの区間で実数解を 1 個持つ。

以上より，方程式 f(x) ＝ 0，すなわち
－x^3 ＋ 3x^2 － 1 ＝ 0
異なる 3 つの実数解を持つ。
--
となります。あなたの解答では，0 ＜ x ＜ 2 の範囲でしか f(x) の値を吟味していません。したがって，この区間に解が奇数個あることを示したにすぎないのです。
　上記のように，増減表を書いて関数の動きを追わないと，満点の解答にはまずなりませんのでご注意ください。

　以上，ご参考になりましたでしょうか。

お礼

ありがとうございます。各区間ごとに、確認しておけばＯＫだったんですか。

回答No.1

Yokoken

h-stormさん初めまして。

ご質問の件ですが、
確固たる確信は持てないですが、
おそらく、h-stormさんが仰っている、
f(2)<-1<f(0) →　解の個数が3個がまずいのではないでしょうか。
ここで論理の飛躍があるものと考えます。

f(2)<-1<f(0)から言えることは、
x=(2,0)（0<x<2）の範囲において、
解を一つ持つと言うことしか言えないと思います。

残り二つを言うためには、
単調増加や、単調減少など別の理由を沿える必要があるのではないでしょうか？

通常3次関数では有り得ないとは思いますが、
例えば、x→∞で、f(x)→0というような関数だってあり得ます。

ここは、素直に、f(2) < -1 かつ　x>2 で、f(x)は単調増加なので、
x > 2 で解を一つ持つ。
また、f(0) > -1 かつ　x < 0 で単調減少であることより、x < 0　においても解を一つ持つ。
と言ったように書けば、論理的に飛躍がないのではないでしょうか？
増減表などを添えておくと尚ベターかと思います。

最後の部分は少し怪しい気もしますが、
参考になれば嬉しいです。

お礼

増減表からグラフを書いてやってみたら、解答もうまく導けました。