物理数学の問題です。

質問

熱伝導率κ(>0)の材質でできた半径aの球がある。全体を温度T(0)で均一にしといて、時刻t=0で全表面を温度0の熱浴に接触させ
その後の温度分布を求めたい。

(1)変数分離法を用いて一般解を求めよ。
Hint : rについてはR(r)=f(r)/r またはR(r)=f(r)/√r とおくとよい。

(2)初期条件、境界条件に合うように温度分布の時間変化を求めよ。

解法がわからないです。。。ご教授お願いします＞＜

回答No.2

drmuraberg

No.1の回答に引用してあるＵＲＬの(3.32)式から始めましょう。

“球（半径a ）の表面が温度0 に保たれているとき、熱伝導方程式と境界条件を
極座標を用いて表せ。
解. 熱伝導方程式を極座標で書くと、
(∂u/∂ｔ)/c = ｛∂^2/∂r^2 + 2(∂/∂ｔ)/r｝*u + {θとφの偏微分項}/r^2　　　(1)“

数学より物理と考えると、球対称な場合は球内の熱分布はθとφによらない
とすれば、解uは u(r, θ,φ,t) = R(r)*T(t) と変数分離形で書けます。
これを(1)式に入れて整理すると、
左辺　= R(r)*(dT/dt)/c
右辺　= T(t) ｛d^2/dr^2 + (2/r)*d/dr｝R(t) + 0

したがって
(dT/dt)/(cT) = ｛(d^2/dt^2 + 2(d/dr)/r)R｝/R (2)

ここで R(r) = f(r)/r と置いて（２）の右辺を整理すると
右辺＝R*(d^2f/dr^2)/r = (d^2f/dr^2)/f (3)

(2)と(3)をまとめると
(dT/dt)/(cT) = (d^2f/dr^2)/f　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4)

これが常に成立するためには
(dT/dt)/(cT) = λ , (d^2f/dr^2)/f =λ　　　　　　　　　　　　(5)

dT/dt – cλT = 0, d^2f/dr^2 – λf = 0 (5’)

と簡単化することができるのではないでしょうか。

形式的に厳密な解なら参考ＵＲＬのステップが必要なのでしょうが。
初期条件や境界条件は参考ＵＲＬの説明を参考にしてください。

お礼

ここに代表して書かせて頂きます。
お二方とも分かりやすい説明、ありがとうございました！！！

回答No.1

yokkun831

ここにあるようですが，ハンパじゃないですね。

http://coral.t.u-tokyo.ac.jp/fujiwara/Mathematics-2/Sec3.pdf