熱伝導の問題なのですが

質問

熱伝導の問題なのですが

内半径R1、外半径R2の円管の内面温度θ1に、外面温度θ2に保たれている、円管の熱伝導率が次式で与えられるとき、円管の単位長さ当たり円管を横切る熱量はどれだけか。
　　　　　　　　　　　　　　　　λ＝λ0(1+kθ)
なお、λが場所によって異なる場合の円柱座標系の熱伝導方程式は次式である。
　　 　　　1/r*d/dr(r*λ*dθ/dr)=0

こちらの問題の解き方がわかりません
どなたか教えていただけませんでしょうか

回答No.2

inara · ベストアンサー

No.1 さんの答えで合っていますね。
途中の計算を省略している部分があるのでご自分で計算して確認してみてください。ln は自然対数です。

問題の熱伝導方程式は
　　　(1/r)*d/dr( r*λ*dθ/dr ) = 0
ですが、1/r ≠0 なので
　　　d/dr( r*λ*dθ/dr ) = 0
つまり、ANo.1さんのコメントのように
　　　r*λ*dθ/dr = C1 (定数) --- (１)
となることは分かりますね。

式 (1) に λ = λ0*( 1 + k*θ ) を代入すると
　　　r*λ0*( 1 + k*θ )*dθ/dr = C1
この両辺に dr/( r* λ0 ) をかけると
　　　( 1 + k*θ ) dθ = ( C1/λ0 )*( 1/r ) dr
両辺を積分すれば
　　　θ + (k/2)*θ^2 = ( C1/λ0 )*ln(r) + C2 （定数） --- (2)
これを k = 0 の場合と k ≠0 の場合に分けて考えます。

【１】 k = 0 の場合
式(2)は
　　　θ = ( C1/λ0 )*ln(r) + C2
なので C1 と C2 は以下の境界条件から求められます。
　　　r = R1 のとき θ = θ1
　　　r = R2 のとき θ = θ2
結果だけ示すと
　　　C1 = λ0*( θ2 - θ1 )/ln(R2/R1)
　　　C2 = { θ1*ln(R2) - θ2*ln(R1) }/ln(R2/R1)
したがって
　　　θ = { θ1*ln( R2/r ) + θ2*ln( r/R1 ) }/ln(R2/R1) --- (3)

円管の長さが無限ならば、熱は半径方向にしか流れないので、円管を横切る（半径方向に流れる）熱量は、フーリエの法則
　　　Q = -A*λ*dθ/dr --- (4)
から求められます。－符号がついているのは、dθ/dr が＋なら（外側に行くほど高温なら）、熱は中心軸の方向（r が小さくなる負の方向）に向かって流れるからです。Q は面積 A (m^2) の断面を横切る（通過する）全熱量 (W) ですが、円筒と同じ中心軸を持つ半径 r (m) の架空の円筒面を考えると、R1≦r≦R2 のとき、r がどのような値であっても、この円筒面を横切る熱量は同じ Q になるはずです。つまり、その架空の円筒のうち、長さ L の部分を考えると、その側面の面積は 2*π*r*L なので、式(4)の A の代わりに 2*π*r*L としても等式は成り立ちます。
　　　Q = - 2*π*r*L*λ*dθ/dr --- (5)
今の場合、k = 0 なので λ = λ0 を上式に代入すれば
　　　Q = - 2*π*r*L*λ0*dθ/dr --- (6)
一方、式(3) から
　　　dθ/dr = ( θ2 - θ1 )/{ r*ln(R2/R1) } --- (7)
したがって式(6), (7) より、単位長さ当たり円管を横切る熱量 (W/m) は
　　　Q/L = - 2*π*r*λ0*( θ2 - θ1 )/{ r*ln(R2/R1) }
　　　　　　= - 2*π*λ0*( θ2 - θ1 )/ln(R2/R1) --- (8)
と r に依らず一定になります。 Q/Lが - 符号のときは熱が円筒の外側から内側に流れ、 + 符号のときは熱が円筒の内側から外側に流れることを表しています。この式は ANo.1 さんの結果の、k = 0 の場合に一致します。

【２】 k ≠ 0 の場合
式(2) を θ に関する2次方程式とみなして θ について解くと
　　　θ = [ -1 - √{ ( C1/ λ0 )*ln(r) + C2 } ]/k
となります（－符号の解は θ が常に負になるので解ではない）。C1/λ0 = A（定数）、C1*C2/λ0 = B（定数）とおけば
　　　θ = [ -1 - √{ A*ln(r) +B } ]/k --- (9)
と、すっきりした形になります。これも 【2】 と同様に、A と B を境界条件から求めると
　　　A = k*( θ2 - θ1 )*{ k*( θ1 + θ2 ) + 2 }/ln(R2/R1)
　　　B = { ln(R2)*( k*θ1 + 1 )^2 - ln(R1)*( k*θ2 + 1 )^2 }/ln(R2/R1)
したがって式(5) から
　　　Q = -2*π*L*λ0*( θ2 - θ1 )*{ 1 + k*( θ1 + θ2 )/2 }/ln(R2/R1)
この後は分かりますね（文字数制限のためにこれ以上書けません）。

回答No.4

noname#185706

＃１です。＃２，３さんが途中の計算を示されましたので、参考までに私のものも紹介しておきます。

与えられた方程式から
r λ dθ/dr = c　(c は定数)
λ の式を代入して
r λ0 (1 + k θ) dθ/dr = c
変数を分離して
(1 + k θ) dθ = (c / λ0) dr / r
積分して
θ + k θ^2 / 2 = (c / λ0) log(r) + d　（log は自然対数、d は定数）
境界条件を入れて
θ1 + k θ1^2 / 2 = (c / λ0) log(R1) + d　(1)
θ2 + k θ2^2 / 2 = (c / λ0) log(R2) + d　(2)
(2) - (1)
θ2 - θ1 + k (θ2^2 - θ1^2) / 2 = (c / λ0) log(R2 / R1)
∴ c = λ0 (θ2 - θ1){1 + k (θ2 + θ1) / 2} / log(R2 / R1)
求める熱流束は
f = 2 π r (- λ dθ/dr)
　= - 2 π c
　= 2 π λ0 (θ1 - θ2){1 + k (θ1 + θ2) / 2} / log(R2 / R1)

お礼

-okさん
inaraさんの回答と合わせて理解していきたいと思います♪
お世話になります。どうもありがとうございます＾＾

回答No.3

inara

ANo.2で間違いがありました。以下が正しい文章です。
-------------------------------------------------------
【２】 k ≠ 0 の場合
式(2) を θ に関する2次方程式とみなして θ について解くと
　　　θ = [ -1 + √{ ( C1/ λ0 )*ln(r) + C2 } ]/k
となります（－符号の解は θ が常に負になるので解ではない）。C1/λ0 = A（定数）、C1*C2/λ0 = B（定数）とおけば
　　　θ = [ -1 + √{ A*ln(r) +B } ]/k --- (9)
-------------------------------------------------------

ANo.2では文字数制限のために尻切れになりましたが、続きは以下の通りです。

したがって単位長さ当たり円管を横切る熱量 (W/m) は
　　　Q/L = -2*π*λ0*( θ2 - θ1 )*{ 1 + k*( θ1 + θ2 )/2 }/ln(R2/R1)
この式で k = 0 とすると、式(8)と一致するので、 k = 0 でも k ≠0 でも
　　　Q/L = -2*π*λ0*( θ2 - θ1 )*{ 1 + k*( θ1 + θ2 )/2 }/ln(R2/R1)
になります。これは ANo.1 さんの結果と同じです。

お礼

inaraさん
細かいところまで詳しく書いていただき、とても助かりました♪
これを見て一つ一つ理解していこうと思います。
ありがとうございました＾＾

回答No.1

noname#185706

r λ dθ/dr = const
を解いてください。

私の計算に間違いがなければ、答えは
2 π λ0 (θ1 - θ2){1 + k (θ1 + θ2) / 2} / log(R2 / R1)
（log は自然対数）だと思います。