非定常熱伝導問題の境界条件

質問

困り度を3にして再び質問させていただきます。
有限要素法で非定常熱伝導問題を解くプログラムを作っているのですが、境界条件として固定温度を組み込む方法が分かりません。

今なんとなくでやっている方法は、時間ステップ毎に節点温度ベクトルへ境界の固定温度を直接代入する方法です。これで正しいのでしょうか？

ちなみにこれで得た解は間違っていました。原因が上述の方法にあるのか、それとも他にあるのか、迷っています。経験のある方よろしくお願いします。

回答No.3

miu2 · ベストアンサー

もうだいぶ時間が経っているので解決したと思いますが，一応・・・

非定常熱伝導の問題で時間積分にクランクニコルソン法を
使うのは常套手段で非常に良い選択だと思いますが，
まずは，陽的オイラー法で行われてはいかがでしょうか．
時間刻みを充分小さくすれば全く問題無く解けます．
また，質量行列も集中化して陽的に解きます．
こうすれば，境界条件によって節点の温度ベクトル
に直接値を入れることで計算できます．
拡散係数行列をいじらなくとも計算できます．

一方，陰解法の場合は，係数行列の方を工夫します．
係数行列は温度の既知量を代入したところに対応する
係数行列の対角成分を「１」にして計算を行います．
このとき，非対角成分の行方向だけ０にする方法と
非対角成分の行と列の両方を０にするやり方があり
ます．

前者は非対称行列，後者は対称行列となります．
後者の方を使う場合には，温度境界ベクトルをさらに
工夫する必要があります．とりあえずやるならば，
前者の方をお勧めします．

お礼

回答ありがとうございます．
実はもう解決していたのですが締め切るのを忘れていました;)
僕は後者の，行と列を０にするやり方でやっています．
興味深いので陽的オイラー法でも試してみようと思います．

回答No.2

ency

No1 ency です。

> すでにそのように計算しているのですがうまくいきません。

そうでしたか。。。

あとは、時間項の近似法とか、時間ステップをどのくらいの大きさでとっているのか、誤差が大きくなる理由としては、そのくらいしか思いつきません。。。

時間項の近似法には、陽解法、陰解法…他にもいろいろあったような気がします。

そのあたりも疑ってみてはいかがですか？

補足

近似法にはクランク・ニコルソン法を用いています。
今、許容できる最大刻み時間を計算してみたのですが、
その1/10ぐらいの刻み時間でやっているので問題はないと思います。

やはり原因は他にあるのかもしれません。
でも一応この質問は締め切らずにしばらく他の回答を待ってみようと思います。

回答No.1

ency

非定常問題の場合、こんな感じで計算を進めるんじゃありませんでしたっけ？

(ステップ1)
境界条件として固定温度を、境界の節点温度として入力して計算する。
→結果として、各節点温度が出力される。

(ステップ2)
ステップ1 の結果を入力として計算する。
# 固定端は同じ条件を入力する。
→結果として、各節点温度が出力される。

……(以下繰返し)

有限要素法をやっていたのは、かれこれ十年近く前の話ですし、私自身は定常問題しかやったことはなかったので、見当違いなことを書いてしまっているかもしれません。
# 周りで非定常問題や、動的解析をやっている人がいたので、そのとき聞いた
# 話を思い出しつつ…なのもので。。。

お礼

回答ありがとうございます。
すでにそのように計算しているのですがうまくいきません。