熱伝導に関する問題です。

質問

伝熱工学の熱伝導に関する問題です。どなたか次の問題を教えていただけませんか？
「半径R(m)の金属球が温度TA(K)の空気中にある。金属球の内部にはヒーターがあり、その表面の温度は常にTR(K)(TR>TA)となるように保持されている。今、空気は静止しており、対流が生じないとする。
今、原点を球の中心にとるとき、空気中(r≧R)の定常状態における温度分布が次式のようになることを示しなさい。ただし、r=RでT=TR,r=∞でT=TAとし、空気の熱伝導率をλ(W/mK)とする。
T=(TR-TA)R/r+TA

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

球内部の半径r面の単位時間に伝わる熱量は－4πλr^2・dT/dr、半径(r+dr)面での
単位時間に伝わる熱量は－4πλ｛r^2・dT/dr+d/dr(r^2・dT/dr)・dr｝である。

r面を通る熱量と(r+dr)面を通る熱量とは等しいので
－4πλr^2・dT/dr＝－4πλ｛r^2・dT/dr+d/dr(r^2・dT/dr)・dr｝
よってd/dr(r^2・dT/dr)＝0・・・・(1)
なる微分方程式が得られる。

境界条件として
T(R)＝TR , T(∞)＝TA・・・・(2)
なので(1)を解いて2つの積分常数を(2)の境界条件を代入して解を求めればよい。

お礼

理解できました。ありがとうございました

補足

半径(r+dr)面での
単位時間に伝わる熱量が－4πλ｛r^2・dT/dr+d/dr(r^2・dT/dr)・dr｝となるのがよく分かりません…。申し訳ありませんが、これの細かい計算過程を示していただけませんか？