行列のことで質問

質問

下の画像のような式においてｘとｙを求めるにはどのように計算すればいいんでしょうか？
ｘ、ｙ以外の数字は分かっている状態です。

回答No.2

ramayana

これは、定係数の線形常微分方程式です。行列の指数関数をご存知でしたら、簡単な解法があります。

一般に、Z=(z_1(t), …,z_n(t))’を、tの関数n個から成る列ベクトルとし、Aをn行n列の定数行列とするとき、微分方程式

　　dZ/dt = AZ

の基本解は、exp(tA) で与えられます。

これをご質問のケースに当てはめると、次のようになります。xとyを縦に並べた列ベクトルをZとし、(0 1)と(-1/LC -R/L )を縦に並べた行列をAとします。このとき、exp(tA)は、2行2列の行列です。その第１列をZ_1、第２列をZ_2とすれば、その両方が微分方程式の解です。

一般解は、任意の実数aとbに対して、

　　aZ_1 + bZ_2

で与えられます。

なお、exp(tA)とは、普通の指数関数のテーラー展開

　　exp(u) = 1 + u + u^2/2! + u^3/3! + …

のuにtAを代入して得られる行列のことです。

回答No.1

noname#185706

ざっと道筋だけ

a = 1/(LC)
b = R/L
D = d/dt

Dx = y
Dy = - a x - b y

DDy = - a Dx - b Dy
DDy + b Dy + a y = 0

y = e^(u t)
Dy = u y
DDy = u^2 y

(u^2 + b u + a) y = 0
u = {- b ± (b^2 - 4 a)^(1/2)} / 2

i) b^2 - 4 a ≠ 0
u = u1, u2
y = c1 e^(u1 t) + c2 e^(u2 t)

ii) b^2 - 4 a = 0
y = (c1 + c2 t) e^(u t)

x = ∫y dt