指数対数の問題で質問があります。

質問

連立方程式
・log2x 　　　y +logx 　　　2y =1
・log2 　　　xy =1
を解け。

という問題を解いていたのですが、分かりません。とりあえず上の式の底を２にそろえて、下の式は分解してｘとｙの関係式（自分の計算ではｘ＝２／ｙとなりました。）を出したりしたのですが、答えにたどり着けなくて…。

問題、見えにくいと思います。すみません。
解き方を教えてください。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

空白があるのは、「空白の直前までが底を意味する」ということでしょうか？
だとすると、

log[2x]y + log[x]2y = 1 …… (1)
log[2]xy = 1 …… (2)

(1)の底を2にそろえる。
log[2]y / log[2]2x + log[2]2y / log[2]x = 1
log[2]y / (1 + log[2]x) + (1 + log[2]y) / log[2]x = 1
logが付いているとうざいので、
log[2]x = X, log[2]y = Yとおく。
Y / (1 + X) + (1 + Y) / X = 1
XY / {X(X + 1)} + {(X + 1)(Y + 1)} / {X(X + 1)} = 1
(2XY + X + Y + 1) / {X(X + 1)} = 1
X^2 + X = 2XY + X + Y + 1
(2)より、X + Y = 1であるから、
X^2 + X = 2X(1 - X) + 2 = -2X^2 + 2X + 2
3X^2 - X - 2 = 0
(X - 1)(3X + 2) = 0
X = 1, -2/3
Y = 0, 5/3
∴(x, y) = (2, 1), (2^(-2/3), 2^(5/3))

お礼

ありがとうございます＾＾理解できました＾＾

回答No.2

asuncion

厳密にいうと、

log[2]x = X, log[2]y = Yとおく。
Y / (1 + X) + (1 + Y) / X = 1

この時点でX ≠ 0, X ≠ -1であることを主張しているので、

3X^2 - X - 2 = 0

この2次方程式の解がX = 1, -2/3であるとわかった時点で
X ≠ 0, X ≠ -1を満たしているから解としてよい、という吟味が
必要となるでしょう。

お礼

詳しく書いてくださり本当にありがとうございます＾＾