また行列ですが・・・

質問

4x＋2y －z ＋w ＝1
3x＋5y－3z＋2w＝2
8x－ y＋　z　　　＝0
8x＋7y－5z＋2w＝2

上の式を行列の掃出し法を使って解をもつか判定し、解があれば解をもとめよというものです。
行列の行基本変形がうまくいかないので教えてくれるとうれしいです。
また解もあれば教えて下さい><

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

4x＋2y－ z＋ w＝1
3x＋5y－3z＋2w＝2
8x－ y＋ z 　 ＝0
8x＋7y－5z＋2w＝2

最初にこの４元連立一次方程式で独立な式は３つのみです。
従って係数行列はゼロになり、逆行列は存在しません。
４変数と独立な式は３式のみなので解けません。いわゆる不定形です。

なので　上の３式だけを使い、x,y,zについて解くと
x=0,y=z=1-wとなり、任意のwに対して４つ目の式も成り立ちます。
なので
解は
　x=0,y=z=1-c,w=c　（cは任意定数）
となるかと思います。

実際に掃き出し法でやってみると

[4, 2,-1,1][x]=[1]
[3, 5,-3,2][y] [2]
[8,-1, 1,0][z] [0]
[8, 7,-5,2][w] [2]

[4, 2,-1, 1][x]=[ 1]
[3, 5,-3, 2][y] [ 2]
[0,-5, 3,-2][z] [-2]
[0, 3,-3, 0][w] [ 0]

[4, 2,-1, 1][x]=[ 1]
[3, 5,-3, 2][y] [ 2]
[0,-5, 3,-2][z] [-2]
[0, 1,-1, 0][w] [ 0]

[4, 0, 1, 1][x]=[ 1]
[3, 0, 0, 0][y] [ 0]
[0,-5, 3,-2][z] [-2]
[0, 1,-1, 0][w] [ 0]

[4, 0, 1, 1][x]=[ 1]
[1, 0, 0, 0][y] [ 0]
[0, 0,-2,-2][z] [-2]
[0, 1,-1, 0][w] [ 0]

[4, 0, 1, 1][x]=[ 1]
[1, 0, 0, 0][y] [ 0]
[0, 0, 1, 1][z] [ 1]
[0, 1,-1, 0][w] [ 0]

[4, 0, 0, 0][x]=[ 0]
[1, 0, 0, 0][y] [ 0]
[0, 0, 1, 1][z] [ 1]
[0, 1,-1, 0][w] [ 0]

[1, 0, 0, 0][x]=[ 0]
[0, 0, 0, 0][y] [ 0]
[0, 0, 1, 1][z] [ 1]
[0, 1,-1, 0][w] [ 0]

[1, 0, 0, 0][x]=[ 0]
[0, 1,-1, 0][y] [ 0]
[0, 0, 1, 1][z] [ 1]
[0, 1,-1, 0][w] [ 0]

[1, 0, 0, 0][x]=[ 0]
[0, 1,-1, 0][y] [ 0]
[0, 0, 1, 1][z] [ 1]
[0, 0, 0, 0][w] [ 0]
となって、下半分ゼロの係数行列となりますが、これ以上対角化はできません。

最後の係数行列表現を書き下すと
x=0
y-z=0
z+w=1
0=0

これから解は
x=0,y=z=1-c,w=c (cは任意定数）
と求まります。

回答No.1

Tacosan

どう「うまくいかない」んでしょうか?

ちなみに, 例えば (x, y, z, w) = (0, 1, 1, 0) は解になりますな.

補足

行基本変形をするときにうまく階段行列に変形させられないので
それを教えてほしかったのです。