∪∩

質問

(1)AとBが排反
AとCが排反のときP(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(B∩C)

一般のABCについて
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)を示せ

という問題です
わかる方おねがいします

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

(1)
A∩B=φ
A∩C=φ
A∪B∪C=A∪(B∪C)
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)=φ→P(A∪B∪C)=P(A∪(B∪C))=P(A)+P(B∪C)
B∪C=B∪(C-B)
B∩(C-B)=φ→P(B∪C)=P(B∪(C-B))=P(B)+P(C-B)
C=(C-B)∪(B∩C)
(C-B)∩(B∩C)=φ→P(C)=P((C-B)∪(B∩C))=P(C-B)+P(B∩C)→P(C-B)=P(C)-P(B∩C)
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B∪C)=P(A)+P(B)+P(C-B)=P(A)+P(B)+P(C)-P(B∩C)

(2)
A∪B∪C=(A∪B)∪{C-(A∪B)}
(A∪B)∩{C-(A∪B)}=φ→P(A∪B∪C)=P(A∪B)+P(C-(A∪B))
C=(C-(A∪B))∪((A∪B)∩C)
(C-(A∪B))∩((A∪B)∩C)=φ→P(C)=P(C-(A∪B))+P((A∪B)∩C)
→P(C-(A∪B))=P(C)-P((A∪B)∩C)
→P(A∪B∪C)=P(A∪B)+P(C)-P((A∪B)∩C)
A∪B=A∪(B-A)
A∩(B-A)=φ→P(A∪B)=P(A)+P(B-A)
→P(A∪B∪C)=P(A)+P(B-A)+P(C)-P((A∪B)∩C)
B=(B-A)∪(A∩B)
(B-A)∩(A∩B)=φ→P(B)=P(B-A)+P(A∩B)→P(B-A)=P(B)-P(A∩B)
→P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P((A∪B)∩C)
(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)=(A∩C)∪{(B∩C)-A}
(A∩C)∩{(B∩C)-A}=φ→P((A∪B)∩C)=P(A∩C)+P((B∩C)-A)
→P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P((B∩C)-A)
B∩C={(B∩C)-A}∪(A∩B∩C)
{(B∩C)-A}∩(A∩B∩C)=φ→P(B∩C)=P((B∩C)-A)+P(A∩B∩C)
→P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)

回答No.2

Tacosan

下は 2個のときを拡張するだけ. それができれば上は自動的に出てくる.