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未解決のエジプト分数問題の証明２
- 未解決のエジプト分数問題の証明２について、証明が不完全であることが解りましたが、一応論文を載せておきます。
- エジプト分数問題の証明に関する数式を紹介し、その解を単位分数の形にすることができるかどうかを確認する方法を提案します。
- 具体的な数値を代入して、解を求める手順を示しました。ただし、証明は完全ではありません。
- koolergoal
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- 数学・算数
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L=193 のとき 193=L=4abc-4b-c=4b(ac-1)-c=4bm-c m=ac-1 となる自然数a,b,c,mがあると仮定すると 193=4*48+1 c=4bm-193=4(bm-48)-1=4(bm-49)+3 k=bm-49とすると c=4k+3 m=a(4k+3)-1 L+c=193+4k+3=4*48+1+4k+3=4(k+49)=4bm k+49=bm=b(a(4k+3)-1) k+49=b(a(4k+3)-1) a(4k+3)-1≦k+49 4k+3≦a(4k+3)≦k+50 3k≦47 0≦k≦15 k=0のとき→49=b(3a-1)となる自然数a,bは無い k=1のとき→50=b(7a-1)となる自然数a,bは無い k=2のとき→51=b(11a-1)となる自然数a,bは無い k=3のとき→52=b(15a-1)となる自然数a,bは無い k=4のとき→53=b(19a-1)となる自然数a,bは無い k=5のとき→54=b(23a-1)となる自然数a,bは無い k=6のとき→55=b(27a-1)となる自然数a,bは無い k=7のとき→56=b(31a-1)となる自然数a,bは無い k=8のとき→57=b(35a-1)となる自然数a,bは無い k=9のとき→58=b(39a-1)となる自然数a,bは無い k=10のとき→59=b(43a-1)となる自然数a,bは無い k=11のとき→60=b(47a-1)となる自然数a,bは無い k=12のとき→61=b(51a-1)となる自然数a,bは無い k=13のとき→62=b(55a-1)となる自然数a,bは無い k=14のとき→63=b(59a-1)となる自然数a,bは無い k=15のとき→64=b(63a-1)となる自然数a,bは無い ∴ 193=4abc-4b-c m=ac-1 となる自然数a,b,c,mは存在しない 一方 4/193=(1/50)+(1/1930)+(1/4825) となるので 193の場合その証明方法が使用できません。
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- muturajcp
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整数L≧2とする 命題を E(L)=[4/L=(1/x)+(1/y)+(1/z)となる自然数x,y,zがある] F(L)=[L+c=4bm,m=ac-1となる自然数a,b,c,mがある] とする F(L)が真ならば 4/L=1/(abLm)+1/(abL)+1/(bm) だからE(L)が真といえる。 ∀素数p≧2に対してF(p)が真と仮定すれば E(p)も真だから ∀整数L≧2に対して L=npとなる素数p≧2と整数nがあり 4/p=(1/x)+(1/y)+(1/z)となる自然数x,y,zがあるから →4/L=4/(np)=1/(nx)+1/(ny)+1/(nz) E(L)が真となるから ∀整数L≧2に対してE(L)が真を示すためには ∀素数p≧2に対してF(p)が真を示すだけでよい 自然数nに対して pは素数だからp≠4n , p=4n-2のとき pは偶数素数だからn=0,p=2 a=1,b=1,c=2とするとm=1 p+c=4=4bm m=1=ac-1 となってF(p)=E(2)は真となる 解ける素数は p=2 , p=4n-1のとき a=2,b=n,c=1とするとm=1 p+c=4n=4bm m=1=ac-1 となってF(p)=E(4n-1)は真となる 解ける素数は p=3,7,11,19,23,31,43,47,59,67,71,79,83,103,107,127,131,139,151,163,167,179,191,…,4n-1,… ∴ p≠4n+1のときE(p)=真が示された。 p=4n+1のとき 自然数kに対して , n=2k-1のとき p=8k-3 a=1,b=k,c=3とするとm=2 p+c=8k=4bm m=2=ac-1 だからF(p)=E(8k-3)は真となる 解ける素数は p=5,13,29,37,53,61,101,109,149,157,173,181,…,8k-3,… , n=2kのときp=8k+1だから ∴p≠8k+1のときE(p)は真と示された…(1) , 素数p≠3(4k-1)=4(3k-1)+1だからn≠3k-1 , n=3k-2のとき p=12k-7 a=k,b=1,c=3とするとm=3k-1 p+c=4(3k-1)=4bm m=3k-1=ac-1 だからF(p)=E(12k-7)は真となる 解ける素数は p=5,17,29,41,53,89,101,113,137,149,…,12k-7,… , n=3kのときp=12k+1だから ∴p≠12k+1のときE(p)は真と示された これと(1)から ∴p≠24k+1のときE(p)は真と示された , 素数p≠5(4k-3)=4(5k-4)+1だからn≠5k-4 , n=5k-1のとき p=20k-3 a=2,b=k,c=3とするとm=5 p+c=20k=4bm m=5=ac-1 だからF(p)=E(20k-3)は真となる 解ける素数は p=17,37,97,…,20k-3,… , 素数p≠7(4k-1)=4(7k-2)+1だからn≠7k-2 , n=7k-3のとき p=28k-11 a=k,b=1,c=7とするとm=7k-1 p+c=4(7k-1)=4bm m=7k-1=ac-1 だからF(p)=E(28k-11)は真となる 解ける素数は p=17,73,…,28k-11,…
補足
ご返信ありがとうございます。 さっと見たのですが、ｎを自然数とすると、 L＝２４ｎ＋１ の場合以外がすべて解けるという証明だと思います。 チェックしてみたのですが、すこしつかれてきたのでこれで終わります。
- stomachman
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そもそも質問になってないようですし、話が曖昧で読み取りかねまする。「論文」なんてどこにも引用してないようですし。 第一に、証明すべき命題が明示されていないために話が始まらない、ということなのかも。ひょっとして、 「任意の整数L について、L>1ならば、4/Lは、分子が1で分母が正の整数である分数3個の和、で表せる」 という命題を証明しようという話なのでしょうか？（そう解釈したのでは、素数がどう関係するんだかさっぱり分かりませんが。） 第二に、a,b,cが何のことだか今ひとつ明確でない。たとえばL=4,9,16,25などについて、a,b,cの具体例を書いていただけないでしょうか。
補足
申し訳ございません。なにぶん説明不足になってしまったことをお詫び申し上げます。 証明２と書いてあるように別の論文「未解決の分数問題の証明」 の修正文です。 そちらの論文の証明に致命的なミスがあったので修正して証明２を書いたのです。 また、素数以外の２以上の自然数すなわち合成数については比較的簡単に証明できるので省略したのです。 たとえば、L＝２ｎの時には L＝n が３個の分数の和で表せるとすると、L＝２ｎ の答えは、その３個の単位分数の和に２分の１をそれぞれかければ求まるからです。 ４／４ ＝ １ ４／９ ＝ （４／３）＊（１／３） ＝ １／３ ＋ １／９ ４／１６＝ １／４ ４／２５＝ （４／５）*（１／５） ＝ （１／２＋１／５＋１／１０）*（１／５） ＝ １／１０ ＋ １／２５ ＋ １／５０ などです。
補足
返信ありがとうございます。 導き出した公式は他にもあるのですが、どうやら L=193 は解けないみたいです。 かなりチェックが大変で精神を病んでしまうぐらい大変でした。 Ｌ＝２４ｎ＋1 の場合、解けない可能性があることはうすうす気づいていたのですが、具体的に存在しない数があるとは少しびっくりです。 ご苦労様でした。