高一数学◎確率について

質問

高一女子です♪
私の学校では今テスト期間なんですが確率、余事象などがよくわかりません。

例えば、
A、B、C の３人がじゃんけんを１回するとき、次の確率を求めよ。
という問題で、
あいこになる確率を求めよ。
と聞かれ、答えが、

（i）全員が同じ手を出すとき
◎３通り
（ii）全員が違う手を出すとき
３！=６通り

（i）（ii）は互いに排反だから、求める確率は
Ｐ=3/27+6/27=9/27=1/3
となるのですがそもそも排反ってなんですか？
なんでたすんですか？
かけたりたしたりするのが使い分けられません(:_;)

回答よろしくお願いします。

回答No.4

stuff_ppo · ベストアンサー

余事象、背反を、もう少し分かりやすい例題で考えてみます。

クラスに40人いて、全員が必ず一つの部活動に入っているとします。
帰宅部の人はおらず、兼部している人もいないとします。

部活動はサッカー部、野球部、ダンス部、合唱部の4種類あり、
サッカー部が10人、野球部が15人、ダンス部が5人だとしたら、
合唱部は何人でしょう？

簡単ですね。
40 - (10 + 15 + 5) = 10 人
です。
この足し算/引き算の計算が出来たのは、
「帰宅部の人が居ない」「兼部の人が居ない」両方の条件を満たしていたからです。

余事象は、
「ある数を直接求めるのが難しいときは、他の数をすべて数えて、最後に全体から引こう」
という考え方です。

合唱部に入っている人の数が分からなければ、
「全体の人数」から、「他の部活に入っている人数」を引けば良いのです。

背反は、「兼部の人はいない」という意味です。
兼部の人がいたら、「他の部活に入っている人数を引く」という計算が意味をなさなくなります。
これが余事象を使う条件になります。

元の問題に戻ると、3人の手の出し方は、
{Aさんが何を出すか} * {Bさんが何を出すか} * {Cさんが何を出すか} = 27通りです
このうち、
■全員が同じ手 : 3通り
■全員が違う手 : (グーチョキパーを、それぞれAさんBさんCさん誰に割り当てるかを考えて)
　3 * 2 * 1 = 6通り
■残りの「2人が同じ手、残りが違う手」を出す場合は :
　27 - (3 + 6) = 18通り (余事象を使いました)

ですので、
あいこになる確率は (3 + 6) / 27 = 1/3　　（これは余事象の考え方は不要ですが）
勝負がつく確率は 18 / 27 = 2/3
です。

疑問に思っている点は解消されましたか？

お礼

とてもわかりやすい例と
回答ありがとう
ございます^^
たすかりました！

回答No.3

uzupekisutan

排反とは大ざっぱに言うと「同時に起きない」という事です。

ここで言うとあいこの中には「全員が同じものをだす」と「全員がかぶらず、違うものをだす」の二つに現象が分かれますが、この二つは同時には起きませんよね。
こういうものはそれぞれ別な現象の確率のため確率自身も別々のものと見なし、足すことが出来ます。

ちなみに排反でないもので「同時に起きる」ものは掛ける事が出来ます。

例えば、袋A,袋Bの二つがあり、Aには赤い玉が四つ、白い玉が三つ入っており、Bには赤い玉が三つ、白い玉が五つ入ってます。それぞれの袋から玉を一つずつ出すとき、共に白い玉が出てくる確率を求めよ。

となると、Aから白い玉が出てくる確率とBから白い玉が出てくる確率を掛けます。

確かに「Aから白い玉が出てくる」ことと「Bから白い玉が出てくる」ということは手順を考えると厳密に同時とはいえませんが（日本語的に）片方の現象だけではまだ白い玉が二つ出てきたとはいえません。両方そろって始めて「玉が二つ出た」といえます。こういうときは掛けます。

先ほどのあいこの話のときは全部のあいこのパターンを網羅できてないだけで、その確率自体は「あいこになる」ということを満たしています。

多分この説明だけだと分からないと思いますが、あとは問題をこなしてなれて下さい。

お礼

回答ありがとうございます。
たすかりました○＊

回答No.2

tomokoich

３人がじゃんけんをする時の場合の総数は3^3=27通りになります

この場合あいこになるのは
(1)全員同じものを出す--->3通り　確率P(A)=3/27
(2)３人がグー・チョキ・パーを出す--->3!=3*2*1=6通り 確率P(B)=6/27
の２つの時なのでこの２つの事象は１つが起こるともうひとつの事象は決して起こらない（これが俳反）
のであいこになる確率は(1)(2)を足したものになります

俳反事象の加法定理より
P(A∪B)=P(A)+P(B)
=3/27+6/27=9/27=1/3
になります

お礼

回答ありがとうございます^^

わかりやすかったです☆

回答No.1

koko_u_u

地道に、A, B, C の各々が出す手のパターンを表にして、その内のどれが「あいこ」かを考えて下さい。

全パターンを表にしたならば、(i) の部分がどれで、(ii) の部分がどれで、それらは「排反」であって、
それらの確率を「足せばよい」ことも徐々にわかるでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
たすかりました◎