数学の問題でしつもんです

質問

平面上の鋭角三角形△ＡＢＣの内部（辺や頂点は含まない）に点ｐをとり、
　　Ａ’をＢ，Ｃ，Ｐを通る円の中心、
　　Ｂ’をＣ，Ａ、Ｐを通る円の中心、
　　Ｃ’をＡ、Ｂ，Ｐを通る円の中心とする。
このとき、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ａ’、Ｂ’、Ｃ’が同一円周上にあるための必要十分条件は、
Ｐが　△ＡＢＣ　の内心に一致することであることを示せ。

この問題は、なにをどう示すのですか？

回答No.4

ferien · ベストアンサー

ANo.2ANo.3です。度々済みません。訂正の追加です。

２）
>ＰからＡＢ，ＢＣ，ＣＡにおろじた垂線の足を、Ｑ，Ｒ、Ｓとする。
のところ、
「Ｃ'ＰとＡＢの交点をＱ，Ａ'ＰとＢＣの交点をＲ，Ｂ'ＰとＣＡの交点をＳとする。」
に変えます。
だから、訂正部分をまとめると以下のようになります。

２）
Ｃ'ＰとＡＢの交点をＱ，Ａ'ＰとＢＣの交点をＲ，Ｂ'ＰとＣＡの交点をＳとする。
（ア）より、Ｃ'Ａ＝Ｃ'Ｐ＝Ｃ'Ｂから、Ｃ'は△ＡＰＢの外心で、
Ｃ'ＱはＡＢの垂直二等分線だから、ＡＱ＝ＢＱ　…（１）
（ア）より、Ａ'Ｂ＝Ａ'Ｐ＝Ａ'Ｃから、Ａ'は△ＢＰＣの外心で、
Ａ'ＲはＢＣの垂直二等分線だから、ＢＲ＝ＣＲ　…（２）
（ア）より、Ｂ'Ｃ＝Ｂ'Ｐ＝Ｂ'Ａから、Ｂ'は△ＣＰＡの外心で、
Ｂ'ＳはＣＡの垂直二等分線だから、ＣＳ＝ＡＳ　…（３）

のように訂正お願いします。申し訳ありません。

回答No.3

ferien

ANo.2です。以下の部分が間違っているので書き換えます。済みません。

２）
ＰからＡＢ，ＢＣ，ＣＡにおろじた垂線の足を、Ｑ，Ｒ、Ｓとする。
＞（ア）より、Ｃ'Ａ＝Ｃ'Ｂから、△Ｃ'ＡＢは二等辺三角形
Ｃ'ＱはＡＢの垂直二等分線だから、ＡＱ＝ＢＱ　…（１）
＞（ア）より、Ａ'Ｂ＝Ａ'Ｃだから、△Ａ'ＢＣは二等辺三角形
Ａ'ＲはＢＣの垂直二等分線だから、ＢＲ＝ＣＲ　…（２）
＞（ア）より、Ｂ'Ｃ＝Ｂ'Ａだから、△Ｂ'ＣＡは二等辺三角形
Ｂ'ＳはＣＡの垂直二等分線だから、ＣＳ＝ＡＳ　…（３）

の部分は削除でお願いします。

２）
ＰからＡＢ，ＢＣ，ＣＡにおろじた垂線の足を、Ｑ，Ｒ、Ｓとする。
（ア）より、Ｃ'Ａ＝Ｃ'Ｐ＝Ｃ'Ｂから、Ｃ'は△ＡＰＢの外心で、
Ｃ'ＱはＡＢの垂直二等分線だから、ＡＱ＝ＢＱ　…（１）
（ア）より、Ａ'Ｂ＝Ａ'Ｐ＝Ａ'Ｃから、Ａ'は△ＢＰＣの外心で、
Ａ'ＲはＢＣの垂直二等分線だから、ＢＲ＝ＣＲ　…（２）
（ア）より、Ｂ'Ｃ＝Ｂ'Ｐ＝Ｂ'Ａから、Ｂ'は△ＣＰＡの外心で、
Ｂ'ＳはＣＡの垂直二等分線だから、ＣＳ＝ＡＳ　…（３）

のように訂正をお願いします。

回答No.2

ferien

平面上の鋭角三角形△ＡＢＣの内部（辺や頂点は含まない）に点ｐをとり、
　　Ａ’をＢ，Ｃ，Ｐを通る円の中心、
　　Ｂ’をＣ，Ａ、Ｐを通る円の中心、
　　Ｃ’をＡ、Ｂ，Ｐを通る円の中心とする。
このとき、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ａ’、Ｂ’、Ｃ’が同一円周上にあるための必要十分条件は、
Ｐが　△ＡＢＣ　の内心に一致することであることを示せ。
＞この問題は、なにをどう示すのですか？

「平面上の鋭角三角形△ＡＢＣの内部（辺や頂点は含まない）に点ｐをとり、
　　Ａ’をＢ，Ｃ，Ｐを通る円の中心、
　　Ｂ’をＣ，Ａ、Ｐを通る円の中心、
　　Ｃ’をＡ、Ｂ，Ｐを通る円の中心とする。」
を仮定として、
１）「Ａ，Ｂ，Ｃ，Ａ’、Ｂ’、Ｃ’が同一円周上にある」ならば、「Ｐが　△ＡＢＣ　の内心に一致する」
と
２）「Ｐが　△ＡＢＣ　の内心に一致する」ならば、「Ａ，Ｂ，Ｃ，Ａ’、Ｂ’、Ｃ’が同一円周上にある」
の両方を証明します。
仮定は、
Ａ'Ｂ＝Ａ'Ｐ＝Ａ'Ｃ，Ｂ'Ｃ＝Ｂ'Ｐ＝Ｂ'Ａ，Ｃ'Ａ＝Ｃ'Ｐ＝Ｃ'Ｂ　……（ア）より、

１）
Ｐを円の中心とすると、各点は同一円周上にあるから、
ＡＰ＝ＢＰ＝ＣＰ＝Ａ'Ｐ＝Ｂ'Ｐ＝Ｃ'Ｐ　……（１）
（ア）（１）より、Ｃ'Ａ＝ＡＰ＝Ｃ'Ｐより、△ＡＰＣ'は正三角形　
よって、角ＡＰＣ'＝６０度
同じくＣ'Ｂ＝ＢＰ＝Ｃ'Ｐより、△ＢＰＣ'は正三角形より、角ＢＰＣ'＝６０度
よって、角ＡＰＢ＝１２０度　…（２）
同様に、△ＢＰＡ'と△ＣＰＡ'は正三角形だから、　
よって、角ＢＰＣ＝１２０度　…（３）
同様に、△ＣＰＢ'と△ＡＰＢ'は正三角形より、角ＡＰＣ＝１２０度　…（４）
ＡＰ＝ＢＰより、△ＡＰＢは二等辺三角形　
よって、（２）より、角ＰＡＢ＝角ＰＢＡ＝（１８０－１２０）／２＝３０度
ＢＰ＝ＣＰより、△ＢＰＣは二等辺三角形　
よって、（３）より角ＰＢＣ＝角ＰＣＢ＝３０度
ＡＰ＝ＣＰより、△ＡＰＣは二等辺三角形
よって、（４）より角ＰＡＣ＝角ＰＣＡ＝３０度
角ＰＡＢ＝角ＰＡＣ＝３０度より、ＡＰは、角Ａの二等分線
角ＰＢＡ＝角ＰＢＣ＝３０度より、ＢＰは、角Ｂの二等分線
角ＰＣＡ＝角ＰＡＣ＝３０度より、ＣＰは、角Ｃの二等分線
Ｐは、３つの角の二等分線上の点だから、△ＡＢＣの内心である。

２）
ＰからＡＢ，ＢＣ，ＣＡにおろじた垂線の足を、Ｑ，Ｒ、Ｓとする。
（ア）より、Ｃ'Ａ＝Ｃ'Ｂから、△Ｃ'ＡＢは二等辺三角形
Ｃ'ＱはＡＢの垂直二等分線だから、ＡＱ＝ＢＱ　…（１）
（ア）より、Ａ'Ｂ＝Ａ'Ｃだから、△Ａ'ＢＣは二等辺三角形
Ａ'ＲはＢＣの垂直二等分線だから、ＢＲ＝ＣＲ　…（２）
（ア）より、Ｂ'Ｃ＝Ｂ'Ａだから、△Ｂ'ＣＡは二等辺三角形
Ｂ'ＳはＣＡの垂直二等分線だから、ＣＳ＝ＡＳ　…（３）
Ｐは内心だから、ＡＱ＝ＡＳ，ＢＱ＝ＢＲ，ＣＲ＝ＣＳ　…（４）
（１）（２）（３）（４）より、ＡＱ＝ＢＱ＝ＢＲ＝ＣＲ＝ＣＳ＝ＡＳ　
ＡＢ＝ＡＱ＋ＢＱ＝ＢＲ＋ＣＲ＝ＢＣ
ＡＢ＝ＡＱ＋ＢＱ＝ＡＳ＋ＣＳ＝ＣＡだから、
△ＡＢＣは正三角形
だから、内心Ｐは外心でもある。よって、ＡＰ＝ＢＰ＝ＣＰ　…（５）
ＡＰは角Ａの二等分線だから、角ＰＡＱ＝３０度
よって、△ＡＰＱで、角ＡＱＰ＝９０度だから、角ＡＰＱ＝６０度
（ア）Ｃ'Ａ＝Ｃ'Ｐより、　△Ｃ'ＡＰは二等辺三角形で、底角の１つが６０度だから、
残りの２つの角も６０度。よって、△Ｃ'ＡＰは正三角形である。
よって、ＡＰ＝Ｃ'Ｐ
同様にして、正三角形が他に５つあることが示せるから、
Ｃ'Ｐ＝ＢＰ，ＢＰ＝Ａ'Ｐ＝ＣＰ，ＣＰ＝Ｂ'Ｐ＝ＡＰ
これと（５）より、
ＡＰ＝ＢＰ＝ＣＰ＝Ａ'Ｐ＝Ｂ'Ｐ＝Ｃ'Ｐ　が言える。
よって、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ａ’、Ｂ’、Ｃ’は、Ｐを中心とする同一円周上にある。

かなり長くなってしまったのですが証明してみました。
（回答になっていなければ申し訳ありません。）

回答No.1

Teio_Plateau

問題文の単語の意味が分かっていないので、まずはそれを調べましょう。