未解決のエジプト分数問題の証明

質問

とりあえずエジプト分数問題が解けたような気がするので証明をしてみます。

　L　=　4abc-4b-c

　M　=　ac-1

　４／Ｌ＝　１／ａｂＬＭ　＋　１／ａｂＬ　＋　１／ｂＭ

　上の式が正しいかどうか確認してみてください。

　４ａｂｃ－４ｂ－ｃ　＝　ｎ　＝　p１

　４ＡＢＣ－４Ｂ－Ｃ　＝　ｄ＊ｎ　＋　１　＝　ｄ＊ｐ１＋１　＝　ｐ２

　　　　Ａ　＝　ａ　＝　ｄ－１
　　　　Ｂ　＝　ｂ
　　　　Ｃ　＝　ｄ＊ｃ－１　

以上からｐ１が解けることが分かればｐ２も自動的に解ける。
ｐ１とｐ１より小さい数は解けることが分かっていると仮定する。
それ以上の素数で２＊ｐ１＋１を超えない素数をｐ２とすれば、
ｄ＝２とおけばｐ２は解ける。このようにｐ１を大きくしていけば
すべての素数で解ける。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

2以上の整数Lに対して
L=4abc-4b-c
M=ac-1
となる自然数a,b,c,Mが存在すれば
4/L=1/(abLM)+1/(abL)+1/(bM)
は成り立ちます。
しかし
dの値は
d=a+1
と決まっているので
a=1でない限り「d=2とおく」ことはできません
aの値は
p1=4abc-4b-c
となるaと決まっているので
p1=4bc-4b-c
となる自然数b,cが存在しない限り
a=1とすることはできません。
実際
p1=3のとき
d=2とおけば
a=d-1=1
3=p1=4abc-4b-c=4bc-4b-c
c=4{b(c-1)-1}+1
k=b(c-1)-1とすると
c=4k+1
k=4bk-1
1=k(4b-1)
となる自然数bは存在しないため、
d=2とおくことができません。

お礼

回答有難うございます。　実を言うと月曜日に計算をし続けていたら、計算が合わない場合があることが解ったので、月曜日に「未解決のエジプトの分数問題の証明　２」に修正版を載せました。　申し訳ございません。　良かったらそちらのほうもご覧ください。