ヤングの不等式

質問

質問なんですが、ヤングの不等式って３つの数に対しても成り立つのでしょうか？つまり、
1<p<∞、p^(-1)+q^(-1)+r^(-1)=1のとき、任意のa,b,c≧0に対して
abc≦p^(-1)×a^p+q^(-1)×b^q+r^(-1)×c^r
が成り立つのでしょうか？これがいえると解けそうな問題があるのですが、２つの場合と同様にやってみても証明できません。成り立ちそうな気はするのですが。。よろしくお願いします。

回答No.1

guuman · ベストアンサー

0<a,0<b,0<p,0<q,1/p+1/q=1ならば
a^(1/p)・b^(1/q)≦a/p+b/q

0<a,0<b,0<c,0<p,0<q,0<r,1/p+1/q+1/r=1とする
1/p+1/q=1/r'とおく
すると
1/r'+1/r=1
本題へ
a^(1/p)・b^(1/q)・c^(1/r)
≦(a^(1/p)・b^(1/q))^r'/r'+c/r
=(a^(r'/p)・b^(r'/q))/r'+c/r
≦(a/(p/r')+b/(q/r'))/r'+c/r
=a/p+b/q+c/r

お礼

なるほど、２つの場合をそういう風に利用したらよいのですね。勉強になりました。guumanさん、ありがとうございました☆