円の内部の2点から円上の点を経由する最短経路の作図

質問

円Cの内部に2点A,Bがあります。
AからC上の点を経由してBまで行くのに最小となる経路を考えます。
A,Bを焦点とする楕円が円に内部から接するときの接点Pを経由するときが最小となることは分かると思います。
このとき、図の接線XYについて、∠APX=∠BPYとなっています。
しかし、その点Pを定規とコンパスで作図したいのですが、その方法がどうしてもわかりません。
どなたか教えていただけないでしょうか。

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

円の内部・外部が逆ですが、≪アルハーゼンの問題≫と同じものではないかと思われます。
　（いずれの問題も　円Cの中心Cと点Pを結ぶ直線CPが∠APBを二等分するという点で　本質的に同じだと思われます。）
　だとすれば、解析幾何学的に4次方程式に帰着するため、定規とコンパスだけで作図することは不可能です。
　（私も方程式を立てて見ましたが、やはり4次方程式になりました。）

　≪アルハーゼンの問題≫については下記URL中程の「【３】アルハーゼンの問題」をお読みください。）
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/316_s.htm

　ちなみに≪アルハーゼンの問題≫用の特殊な作図器があるようです。
http://math-info.criced.tsukuba.ac.jp/museum/MathematicalInstruments/macchine/151ogg.htm

　これに少し手を加えて　2点を囲む円の中心に作図器の中心をセットできるように改良すれば　作図できるようになると思います。

お礼

ありがとうございます。
円の中心をOとして、∠OPA＝∠OPBを満たす点Pの軌跡は3次曲線になるみたいです。
その3次曲線と円Cとの交点が求める点ですが、定規とコンパスでは無理でした。

作図器のアイデアはおもしろいです。

回答No.2

gohtraw

＃１です。失礼しました。おっしゃる通りです。出直してきます。

回答No.1

gohtraw

ＸＹに関して点Ｂと対称の位置にある点Ｂ’を描き、ＡとＢ’を結べばＡＢ’とＸＹの交点がＰだと思います。

お礼

あのう、接点Ｐが分からない段階で接線XYも作図できないんですけど。