円の内部の最小線分

質問

ある円の内部に任意の点Ｐを取り、点Ｐを通る直線が円を切り取る線分をＡＢとする。
　この時、線分ＡＢが最小となるのはどんな時か？
　理由を述べよ。

　この問題。Ｐが線分ＡＢの垂直二等分線になる時（その時中心Ｏを通る）ということは
　直観で分かるのですが、エレガントな証明が思いつきません。
　どなたかご教示いただければ幸いに存じます。
　よろしくお願いします。

回答No.3

leige · ベストアンサー

訂正です。PとOが入れ替わってました。

OPと垂直なPを通る線分CDを考えると
△PAC∽△PDB
よって
PC:PB=PA:PD
これより
PB=(PC)＾2/PA
相加平均と相乗平均の関係より
PA+PB=PA+(PC)＾2/PA≧2√(PA+(PC)＾2/PA)=2PC
よってPA=PB=PCのとき最小になるとおもいます。

お礼

うーん。なるほど相加、相乗平均にもちこむ・・・
　あざやかですね。
　ありがとうございました。

回答No.6

tenro

円周をC1、C1の半径をrとする。
C,DをC1上の点として、OP⊥CDとなるようにする。

このとき、CDはOを中心として半径OPの円C2に接している。
C,D以外のC1上の点Aを任意に選び、AとPを結んだ直線とC1の交点でAとは異なる点をBとする。
仮定からOPとABは垂直ではないので、ABはC2と点P及びPとは異なる点Qの２点で交わる。
ここで、OからABにおろした垂線はPQの垂直二等分線である。
故に、△OABの高さをhとすれば、h<OPである。
AB=2×root(r^2-h^2)、CD=2×root(r^2-OP^2)であるので、CD<AB

お礼

なるほど、円内に円を考えて・・・・ですか
　シャープな回答ありがとうございました

回答No.5

leige

C,Dを円周上の点として、OP⊥CDとなるようにする。

このとき△OPDは直角三角形で直径をODとする円に内接している。
D以外の円周上の点Aについて△OPAはこの円から出る。
よって∠ODP＞∠OAP

△OCD、△OBAが半径を等しい２辺とする２等辺三角形だから
∠COD＜∠AOB
2辺が半径の２つの三角形は中心角が小さいほうが底辺が短くなる
よってCD＜ABとなり、OP⊥ABとなるときが最短になる。

お礼

ありがとうございます

回答No.4

BLUEPIXY

線分ＡＢが最大になるのは、
線分ＡＢが直径と一致する時であって、
線分ＡＢが直径からずれるに従って
線分ＡＢは小さくなる。
このことは、線分ＡＢに対する角ＡＯＢがずれるに従って小さくなることから明らかである。
右回りに線分ＡＢをずらしていく場合と
左回りに線分ＡＢをずらしていく場合と対称であるから
線分ＡＢが最小になるのは、右回りと左回りの転回点（点Ｐを通る直径に線分ＡＢが直角に交わる時）で点ＰがＡＢの中点になる時である。

お礼

角が最小になる時・・・・なるほど。
　ありがとうございました。

回答No.2

leige

OPと垂直なPを通る線分CDを考えると
△OAC∽△ODB
よって
OC:OB=OA:OD
これより
OB=(OC)＾2/OA
相加平均と相乗平均の関係より
OA+OB=OA+(OC)＾2/OA≧2√(OA+(OC)＾2/OA)=2OC
よってOA=OB=OCのとき最小になるとおもいます。

回答No.1

graduate_student

ごめんなさい．
こちらの勘違いかもしれませんが，線分ABが最小になるような点Pの位置は点Pが限りなく円周の近くにあるときに実現しませんか？

線分ABが円の中心を通る時，線分ABは最大になると思うのですが．

お礼

えーと、点Ｐは任意です。