二つの円上の点に関する最大最小問題

質問

平面上の２点(0,0),(3,0)を中心とする半径２の円をＣ1,Ｃ2とする。Ｐ1,Ｐ2はそれぞれＣ1,Ｃ2上を(2cosθ,2sinθ),(5,0)から出発し、毎秒１radの割合で反時計回りに動く動点とする。ただし0≦θ＜2πとする。

問
θを固定したとき、P1P2の最大値L(θ)と最小値l(θ)を求めよ。

という問題です。
まずは２点間の距離公式で

(P1P2)^2=(x座標の差)^2+(y座標の差)^2

として入っていけばよいと思うのですが、計算していって、

17+4cost-12cos(θ+t)

となってこれ以上進めませんでした。数(3)の問題集にあったものなので微分がからんでくると思うのですが...それ以前にこの計算結果が間違っていては論外ですよね。ちなみに答えは最大値4sin(θ/2)+3となっていました。（最小値は4sin(θ/2)+3に絶対値がついたものです）
解き方についてアドバイスお願いいたします。

回答No.1

tresbien · ベストアンサー

あなたのやり方で考えると、私は途中の計算が次のようになりました。
=17-12｛cos(θ+t)-cost｝-8cosθ
変形して
=24sin(θ/2)*sin(t+θ/2)-8cosθ+17 　　
cosθに2倍角の公式を使えば
=24sin(θ/2)*sin(t+θ/2)-8｛1-2sin2(θ/2)｝+17　←２乗に注意
p=sin(θ/2) と置いて見やすくすると
=16p^2+24p*sin(t+θ/2)+9
条件より　sin(θ/2)>=0 なので
sin(t+θ/2)=1 の時最大
sin(t+θ/2)=-1 の時最小
ほら出来てきました。
最大値は　　=16p^2+24p+9 =(4p+3)^2 平方になっているから√でo.k.
それと、あなたの書いた最小値は多分|4sin(θ/2)-3｜の間違いですよね。

お礼

ありがとうございます！！あと最小値間違ってました...ごめんなさい！！