円上の動く点

質問

図のように中心が同じ２つの周上を、点Pと点RはAから、点QはBから同時に出発して矢印の方向にまわります。P、Qの速さは毎秒１ｃｍ、Rの速さは毎秒２ｃｍです。１０秒後に、角POQははじめて９０°になり、角ROQははじめて１８０°になります。

問題　１　P,Qは一周をそれぞれ何秒でまわりますか。
問題　２　PとQがはじめてもっとも遠くなるのは、出発してから何秒後ですか。

この問題がさっぱりわかりません。
申し訳ないですが、解き方を教えてもらえないでしょうか？

回答No.1

DJ-Potato · ベストアンサー

PとQが毎秒1cm、Rが毎秒2cm進むので、
Pは毎秒a°、Qは毎秒b°、Rは毎秒2a°進みます。
OAを基準とした場合、PとRの初期位置は0°、Qの初期位置は-120°です。

10秒後にQはPに対して30°迫り、RはQに対して60°引き離します。
10b - 10a = 30
20a - 10b = 60
a = 9, b = 12

問題１
Pは毎秒9°で回るので、1周には40秒
Qは毎秒12°で回るので、１周には30秒かかります。

問題２
PとQがもっとも遠くなるのは、∠POQ=180°となる時です。
0秒で120°
10秒で90°
20秒で60°
30秒で30°
40秒で0°　ともに図の左端に止まり、最接近します。
50秒で30°
60秒で60°
70秒で90°
80秒で120°
90秒で150°
100秒で180°　もっとも遠くなります。

お礼

回答ありがとうございました。
とてもわかりやすい解説でした。
旅人算？を使って
Pの速さをa,Rの速さを２a,Qの速さをｂとして
３０°の距離をb-aでうめていく
30°÷(b-a)＝１０秒
2a-bの速さで１０秒進むと６０°
(2a-b)×１０秒＝６０°
この連立方程式を解くと
a=9,b=12
と出るのですが
この考え方でもあっていますか？

回答No.2

yyssaa

問題　１　P,Qは一周をそれぞれ何秒でまわりますか。
＞P,Qは一周をそれぞれx,y秒でまわるとすると、P,R,Qが10秒で進む
角度は、2π*10/x=20π/x,2π*10/(x/2)=40π/x,20π/y。
角POQ=π/2ということは、π-(π/3+20π/y)+20π/x=π/2・・・(ア)
角ROQ=πということは、π-(π/3+20π/y)+40π/x=π・・・(イ)
(ア)(イ)を連立で解いて、20π/x=π/2からx=40、(イ)に代入して
y=30、よってP,Qは一周をそれぞれ40秒、30秒でまわる。・・・答え
問題　２　PとQがはじめてもっとも遠くなるのは、出発してから何秒後ですか。
＞はじめて角POQ=0となるまでの所要時間をＴ秒とすると
(π/3)+2πT/30=π+2πT/40からT=40、その後角POQ=πとなるまでの
所要時間をt秒とすると、2πt/40+π=2πt/30よりt=60、よって
40+60=100からPとQがはじめてもっとも遠くなるのは、出発してから
１００秒後・・・答え

お礼

回答ありがとうございます。
本当に申し訳ないのですが、教えていただいた式がなにを表しているのか理解できませんでした＞＜
yyssaa様の考えは僕には少し難しかったです。