BC=10 CA=6 ∠ACB＝60°である△ABCの内部に点Pをとる

質問

BC=10 CA=6 ∠ACB＝60°である△ABCの内部に点Pをとる。
△APCを頂点Cを中心に時計回りに60°回転した三角形を△A'P'Cとするとき
（１）△A'BCの面積を求めよ
（２）AP＋BP＋CPの長さの最小値を求めよ

の（１）は答え15ルート3とわかったのですが（２）がわかりません
わかりやすく説明お願いします。
一直線上になり、120°になるあたりまでは、なんとなくわかったのですが・・・
よろしくお願いします。

回答No.2

aquatarku5 · ベストアンサー

No1の者です。余弦定理を用いない方法ということで
考えてみました（添付図も同時に参照願います）。

∠PBC+∠PCB=∠P'PC=60°より、∠PBC=∠ACP

△AA'Cは正三角形なので、AA'//BCより、
∠AA'B=∠A'BC
∠A'AC=∠ACB=60°

以上から2角相等より、△AA'X∽△CPX　・・・(1)

同様にして、△A'CX∽△CP'X　・・・(2)

またAA'//BCより、△AA'X∽△CBX　より、
AX:XC=AA':CB=6:10。これとAC=6より、
AX=AC×AA'/(AA'+BC)=2.25、CX=3.75　・・・(3)

PC=tとし、(1)(2)(3)を用いて各辺の長さを求めてゆく。
PX=t×AX/AA'=3t/8
P'X=t-3t/8=5t/8
P'A'=A'C×PC/BC=3t/5

A'X=AA'×CX/PC=22.5/t

∴A'X=P'A'+PX=(3/8+3/5)t=22.5/t
∴t=30/7
∴A'X=21/4

△ABCにおいて2等分線定理より、
BX:A'X=BC:A'C=10:6

したがって、A'B=A'X×(BC+A'C)/A'C=21/4×16/6=14

※なおANo1中、「Pが、線分A'B上かつ∠ACP'=30°となるよう設ける」
は誤りです。失礼いたしました。「Pが、線分A'B上かつ∠A'PC=60°
となるよう設ける」に訂正します。

お礼

くわしく有難うございました。

回答No.1

aquatarku5

(2) 一直線上になる、ことまで辿り着いているのならば、
　　ほぼ解けつつあると思います。
　　AP+BP+CP=A'P'+BP+PP'なので、
　　これを最小にするには、P,P'を線分A'B'上かつ∠PCP'=60°
　　となるように設ければよい。
　　即ち、Pが、線分A'B上かつ∠ACP'=30°となるよう設ける。
　　このときのA'P+P'P+PBの長さは、
　　△A'CBに余弦定理を適用、
　　A'B'^2=A'C^2+BC^2-2A'C・BC・cos∠A'CB
　　=6^2＋10^2-2*6*10*cos120°=196=14^2　よって最小値=14

お礼

解答ありがとうございます。
答えは14で正解なのですが、まだ学校で余弦定理を
習ってないので、余弦定理を使わずに出来る
方法を教えていただけませんでしょうか？
お手数ですがよろしくお願いいたします。