微積の問題が分かりません。

質問

tの関数ｆ（ｔ）から、新しいｓの関数を作る操作Ｌを

Ｌ[f(t)]≡∫[0→∞] f(t)e^(-st) dt で定義し、

L[g(t)]=G(s)と書くとき、次の関数にLを作用させた場合の途中の計算がどうなるかよく分かりません。どなたか分かる方がいらっしゃったら、解説をよろしくお願いします。

1）　g´(t)
2) 　∫[0→ｔ]　g(τ)　dτ

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

1）g'(t)
L[g'(t)]=∫[0→∞] g'(t)e^(-st) dt
部分積分すると
L[g'(t)]=[g(t)e^(-st)] [0→∞]-∫[0→∞]g(t)(-s)e^(-st)dt
=-g(0) +sG(s)
ここで、s=σ+jω(σ>0)とすれば　lim[t→∞] g(t)e^(-st)=0

∴L[g'(t)]=sG(s)-g(0)

2) ∫[0→ｔ] g(τ)dτ=h(t)とおくと　h'(t)=g(t)
L[h(t)]=∫[0→∞] h(t)e^(-st) dt
部分積分すると
L[h(t)]=[h(t)(-1/s)e^(-st)][0→∞]-(-1/s)∫[0→∞] g(t)e^(-st) dt
=h(0)/s+(1/s)G(s)
=G(s)/s
ここで、s=σ+jω(σ>0),lim[t→∞] g(t)e^(-st)=0 とする。

回答No.1

alice_44

どちらも、部分積分を行うだけです。
f(t) と e^(-st) のどちらを微分側、どちらを積分側とするか。
1) 2) に与えらた f(t) と、
g(t) との関係を睨んで判断しましょう。それだけ。