絶対値付き三角関数の積分、ラプラス変換の問題

質問

積分∫| cos(t) |e^-st dt を求めよ.という問題で
自分なりに計算してみたところ、

∫| cos(t) |e^-st dt 　　（範囲は0～π）

= ∫cos(t)e^-st dt - ∫cos(t)e^-st dt　　（範囲は0～π/2、π/2～π）
= [e^-st × (-scos(t) + sin(t) ) / s^2 + 1 ] - [e^-st × (-scos(t) + sin(t) ) / s^2 + 1]　（範囲は0～π/2、π/2～π）
= (2e^-πs/2 / s^2 + 1 ) - ( s / s^2 + 1 ) - (se^-πs / s^2 + 1)

となりました。

その次の問題で、
|cos(t)| = |cos(t+π)|を用いて、ラプラス変換 L[ |cos(t)| ] = ∫|cos(t)|e^-st dt （範囲は0～∞）を計算せよ
という問題があり、こちらの方は手も足も出ない状態です。。。

まず、前半の計算の仕方が合っているのかとその次の問題の解法をお伺いしたいです。

大変見にくいとは思いますが、どうかよろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp

-(s/s^2+1)ではなく+{s/(s^2+1)}です

f(t)=cos(t)e^{-st}
F(t)=∫f(t)dt
とすると
F(t)=e^{-st}×[-scos(t)+sin(t)]/(s^2+1)
∫_{0～π/2}f(t)dt=F(π/2)-F(0)
∫_{π/2～π}f(t)dt=F(π)-F(π/2)
F(π/2)=e^{-sπ/2}/(s^2+1)
F(0)= -s/(s^2+1)
F(π)=se^{-sπ}/(s^2+1)

∫_{0～π}|cos(t)|e^{-st}dt
=∫_{0～π/2}f(t)dt-∫_{π/2～π}f(t)dt
=F(π/2)-F(0)-{F(π)-F(π/2)}
=2F(π/2)-F(0)+F(π)
=
[2e^{-sπ/2}/(1+s^2)]+{s/(1+s^2)}-[se^{-sπ}/(1+s^2)]
=
[2e^{-sπ/2}+s-se^{-sπ}]/(1+s^2)

F_n=∫_{(n-1)π～nπ}|cos(t)|e^{-st}dt
P(n)=[F_n=e^{-s(n-1)π}F_1]
とすると
P(1)=[F_n=e^{-s(1-1)π}F_1]は真
ある自然数nに対してP(n)が真と仮定すると
F_n=e^{-s(n-1)π}F_1
F_{n+1}
=∫_{nπ～(n+1)π}|cos(t)|e^{-st}dt
=∫_{(n-1)π～nπ}|cos(x+π)|e^{-s(x+π)}dx
=e^{-sπ}∫_{(n-1)π～nπ}|cos(x)|e^{-sx}dx
=e^{-sπ}F_n
=e^{-snπ}F_1
↓
P(n+1)=[F_{n+1}=e^{-snπ}F_1]は真
↓
すべての自然数nに対して
F_n=e^{-s(n-1)π}F_1
F_1=[2e^{-sπ/2}+s-se^{-sπ}]/(1+s^2)
だから
∫_{0～∞}|cos(t)|e^{-st}dt
=Σ_{n=1～∞}F_n
=Σ_{n=1～∞}e^{-s(n-1)π}F_1
=F_1/(1-e^{-sπ})
=[2e^{-sπ/2}+s-se^{-sπ}]/{(1+s^2)(1-e^{-sπ})}