畳み込み積分のラプラス変換
畳み込み積分
f * g = ∫[0,t] f(τ) g(t-τ) dτ
のラプラス変換が式
L[f * g] = L[f(t)]L[g(t)]
の性質を満たすことを示そう。
L[f * g] = ∫[0,∞] (f * g) e^(-st) dt
= ∫[0,∞] {∫[0,t] f(τ) g(t-τ) dτ} e^(-st) dt ←ここから
= ∫[0,∞] f(τ) {∫[τ,∞] g(t-τ) e^(-st) dt } dτ
= ∫[0,∞] f(τ) {∫[0,∞] g(u) e^{-s(u+τ)} du } dτ ←ここまで
： （これ以降は理解できました）
= L[f(t)]L[g(t)]
・・・という例が本に載っています。
途中をどうやって計算しているのかが分かりません。
自分で考えてみますと、
= ∫[0,∞] {∫[0,t] f(τ) g(t-τ) dτ} e^(-st) dt
= ∫[0,∞] f(τ) {∫[τ,∞] g(t-τ) e^(-st) dt } dτ
の間は、内側と外側の積分を交換したみたいですね。
ただ、その際に
∫[0,t]が外側に行って∫[0,∞]
∫[0,∞] が内側に行って{∫[τ,∞]
に変換されています。ここがまず分かりません。
次に
= ∫[0,∞] f(τ) {∫[τ,∞] g(t-τ) e^(-st) dt } dτ
= ∫[0,∞] f(τ) {∫[0,∞] g(u) e^{-s(u+τ)} du } dτ
の間は
u = t-τ
と置いて、
t = u+τ
とも置いているようです。
でも、それらを適用しただけだと
= ∫[0,∞] f(τ) {∫[τ,∞] g(u) e^{-s(u+τ)} du } dτ
と、∫[τ,∞]の開始点はτのままになってしまいますよね？
なぜ、0になってしまったのでしょうか？
多変数の微積分のところで二つの積分を重積分にするのをやりましたが、すっかり忘れました。
復習の意味も込めて教えてください。お願いします。
お礼
最後のはコピぺみすでした．回答ありがとうございました