軌跡の問題に関して質問です

質問

座標平面上の半径r（０＜r＜１）の円盤Ｄが、原点を中心とする半径１の円に内接しながら滑らずに転がる。そのときのＤ上の定点Ｐの動きを調べる。ただし、Ｄの中心は原点の周りを反時計回りに進むものとする。初めのＤの中心とＰは、それぞれ（1-r,0）（1-r+a,0）の位置にあるものとする。

(1)Dが長さαだけ転がった位置にきたとき、Pの座標（x,y）をαを用いて表せ。

(2)Dが転がり続けるとき、Pがいつか最初の位置に戻るためのｒの条件を求めよ。

(3)r=1/2のとき、点Pの軌跡を求め図示せよ。

(2)、(3)について方針、解答までに何を示せばこの問題を解くことが出来るのか詳しく教えていただけないでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

これは内トロコイドの問題になり、設問(3)では特別な場合で楕円を描きます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85%E3%83%88%E3%83%AD%E3%82%B3%E3%82%A4%E3%83%89#.E5.86.85.E3.83.88.E3.83.AD.E3.82.B3.E3.82.A4.E3.83.89

(1) 質問されていませんので、次の式が導かれたものとします。
　　x=(1-r)cos(α)+a*cos{α(1-r)/r},　　　-r<a<r
　　y=(1-r)sin(α)-a*sin{α(1-r)/r}

(2) いつか最初の位置に戻るということから　周期性がある　と考えます。
　cos(α),sin(α)の周期は2π、cos{α(1-r)/r},sin{α(1-r)/r} の周期は2πr/(1-r) です。
　これらの和や差をとったものも周期をもつためには、m,nを自然数として次式が成り立つことが必要十分です。
　　2πn=2πmr/(1-r)　　∴r=n/(n+m)
　n,mは任意に選ぶことができますので、このことから　r は有理数(ただし0<r<1)である　ことが示されます。

(3) 設問(1)の式が得られていれば、r=1/2 で次式が得られます。
　　x=(1/2)cos(α)+a*cos(α) =(1/2+a)cos(α),　　　-1/2<a<1/2
　　y=(1/2)sin(α)-a*sin(α) =(1/2-a)sin(α)
　この形を見れば、cos(α)^2+sin(α)^2=1 を利用して三角関数を消去すれば
　　x^2/(1/2+a)^2+y^2/(1/2-a)^2=1
という楕円の方程式が得られますので、これを図示するとよいです。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Ellipse_as_hypotrochoid.gif

＃　ちなみに、この質問は「数学カテ」の方が良いと思いますよ。

お礼

詳しい解説ありがとうございます！理解できました！