どなたかこの問題教えてください。はっきしいって意味わかんないです(>_

質問

どなたかこの問題教えてください。はっきしいって意味わかんないです(>_<)

次の確立分布の密度関数を出せ。
(1)数直線上の区間[a,b]上の一様分布
(2)xy平面上の原点Oを中心とする半径1の円の内部に一様分布するように無作為に点Pを取るとき原点Oと点Pの間の距離Xの確立分布
(3)xyz空間内のげOを中心とする半径1の球の内部に一様分布するように無作為に点Pを取るとき原点Oと点Pの間の距離Xの確立分布

(1)はf_x(x)=1/b-aですかね？

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
>(1)はf_x(x)=1/b-aですかね？
=1/(b-a) (a≦x≦bのx)
=0 (その他のx)
とする。

(2),(3)
f_x(x)の定義から
x～x+dxの範囲の確率が f_x(x)dx である
ことより導出すればよい。

(2)
f_x(x)dx
=(1/π)2πxdx=2xdx (0≦x≦1のx)
=0dx （その他のx)
[ポイント] (1/π)は一様分布から出てくる。2πxdxは半径xからx+dxの円環の面積です。

dxを取り除けばf_x(x)が求まる。
f_x(x)
=2x (0≦x≦1のx)
=0 （その他のx)

(3)
同様に f_x(x)dxを求めれば以下のように求まります。
[ポイント]
1/(4π/3)は球内での一様分布の密度、厚さdx球殻の体積(4πx^2) dx
からf_x(x)dxが求まる。

f_x(x)
=3x^2 (0≦x≦1のx)
=0 (その他のx)

お礼

お礼遅れてごめんなさい。完璧に理解できました。詳しくありがとうございます。助かりました。

回答No.1

htms42

確率の密度を考えています。
「一様分布」というのも「密度」を表しているように思いますから「密度関数」との関係が分からなくなっているのでしょう。

密度を考える時は必ず空間の大きさについての指定があります。
人口密度といえば１ｋｍ^2当たりの人口です。物質の密度といえば１ｃｍ^3当たりの質量です。

一様分布であるということは
（ａ）直線の場合、ある短い長さｄｘで分布を考えた場合、ｄｘをどこにとっても分布は同じであるということです。
（ｂ）平面の場合、ある小さな長方形ｄｘｄｙで分布を考えた場合、ｄｘｄｙをどこにとっても分布は同じであるということです。
（ｃ）立体の場合、ある小さな直方体ｄｘｄｙｄｚで分布を考えた場合、ｄｘｄｙｄｚをどこにとっても分布は同じであるということです。

（１）は（ａ）の場合です。ｆ1(ｘ)ｄｘで考える方がいいでしょう。一様ですからｆ1(ｘ)＝ｋ１（一定）です。これをａからｂまで全部加え合わせると1になります。積分記号を使って表すと∫ｆ１(ｘ)ｄｘ＝１です。ｆ1(ｘ)＝ｋ１＝１／（ｂ－ａ）です。
（２）は円の場合ですから（ｂ）です。ｄｘｄｙの小さな面積要素で考えると一様です。
∫∫ｆ(ｘ、ｙ)ｄｘｄｙ＝１、
ｆ(ｘ、ｙ)＝ｋ２（一定）＝１／（円の面積）＝１／π
でも今は面積要素の取り方が変わっているのです。原点からの距離が同じ所にある点は1つにまとめて考えるという分布の取り方です。距離をｒとします。（ｘ，ｙ座標の空間の中で距離をＸとするという文字の使い方は混乱します。）このｒについて∫ｆ2(ｒ)ｄｒ＝１になる分布です。
面積要素はｄｓ＝２πｒｄｒです。
∫ｋ２ｄｓ＝∫ｋ２(２πｒｄｒ)＝∫ｆ2(ｒ)ｄｒ＝１
ｆ2(ｒ)＝２πｒｋ２＝２ｒ
（３）は球の場合ですから（ｃ）です。ｄｘｄｙｄｚの小さな体積要素で考えると一様です。
∫∫∫ｆ(ｘ、ｙ、ｚ)ｄｘｄｙｄｚ＝１
ｆ(ｘ、ｙ、ｚ)＝ｋ３(一定)＝１／（球の体積）
（２）と同じように原点からの距離が同じ所にある点は1つにまとめて考えるという分布の取り方を考えます。∫ｆ3(ｒ)ｄｒ＝１になる分布です。
体積要素はｄｖ＝４πｒ^2ｄｒです。
∫ｋ３ｄｖ＝∫ｋ３(４πｒ^2ｄｒ)＝∫ｆ3(ｒ)ｄｒ＝１
（２）の場合と同じようにして計算してみてください。