数学の問題です。教えてください！

質問

Oを原点とする座標平面上に、半径がすべてrである（rは正の定数）である
3つの円C1,C2,C3がある。円C1,C２の中心はそれぞれO、A(-６、８)である。
また円C3は2つの円C1,C2に外接し、その中心Bは第一象限にある。

（１）円C1、C2が2点L、Mで交わり、LM＝５であるときrの値と点Bの座標を求めよ。

（２）（１）のとき円C３の周上に動点Pをとる。
　　　OPの二乗＋APの二乗の最小値を求めよ。

外接している場合、どうやって求めればいいのでしょうか。
解き方と考え方が分かりません。
詳しい解説をよろしくお願いします！

回答No.4

ferien · ベストアンサー

＞Oを原点とする座標平面上に、半径がすべてrである（rは正の定数）である
＞ 3つの円C1,C2,C3がある。円C1,C２の中心はそれぞれO、A(-６、８)である。
＞ また円C3は2つの円C1,C2に外接し、その中心Bは第一象限にある。

＞（１）円C1、C2が2点L、Mで交わり、LM＝５であるときrの値と点Bの座標を求めよ。
円C1、C2が2点L、Mで交わるから、
C1とC2の中心を結んだ線分OAは、交点L，Mを通る線分LMの垂直二等分線だから、
２つ線分の交点をNとすると、LN＝LM/2＝5/2

OA^2＝(0＋6)^2＋(0－8)^2＝100より、OA＝10

円C1と円C2は半径が同じだから、LA＝LOより、△LAOは二等辺三角形だから、
LMも底辺OAの垂直二等分線だから、ON＝OA/2＝10/2＝5

以上より、△LNOは、∠LNO＝90°の直角三角形だから、
半径＝LO＝√(LN^2＋ON^2)＝√{(5/2)^2＋5^2}＝√(125/4)＝5√5/2

円C3の中心B(a,b)とすると、第一象限にあるから、a＞0，b＞0
円C3は、C1とC2に接し、C1とC2と同じ半径＝5√5/2だから、
中心間の距離は半径の2倍。だから、OB＝2・(5√5/2)，AB＝2・(5√5/2)　
これより、
OB^2＝4・(125/4)より、a^2＋b^2＝125　……(1)
AB^2＝4・(125/4)より、(a＋6)^2＋(b－8)^2＝125　……(2)
連立方程式でとく。
(1)(2)より、a^2＋b^2＝(a＋6)^2＋(b－8)^2とおいて整理すると、
3a－4b＝－25より、a＝(1/3)(4b－25)
(1)へ代入して整理すると、
b^2－8b－20＝0
(b＋2)(b－10)＝0より、b＞0だから、b＝10　代入して、a＝5
よって、B(5,10)

＞（２）（１）のとき円C３の周上に動点Pをとる。
＞ 　　　OPの二乗＋APの二乗の最小値を求めよ。
OP＞0，AP＞0だから、相加平均・相乗平均より、
OP^2＋AP^2≧2√(OP^2・AP^2)＝2√(OP・AP)^2＝2(OP・AP)
等号成立は、QP^2＝AP^2より、OP＞0，AP＞0から、OP＝APのとき。
このとき、最小値をとるから、OP^2＋AP^2の最小値は、2OP^2で、
図形では、△POAが二等辺三角形のとき。

直線LMは底辺OAの垂直二等分線だから、点Pは直線LM上にある。
また、OB＝ABより、△BOAも底辺がOAの二等辺三角形だから、
円C3の中心Bも直線LM上にある。
LMとOAの交点はNだったから、∠PNO＝∠BNO＝90°
だから、△PONと△BONは直角三角形である。

△BONで、ON＝5，OB＝2・(5√5/2)だから、
BN^2＝OB^2－ON^2＝125－25＝100より、BN＝10
△PONで、BP＝5√5/2（円C3の半径）だから、PN＝BN－BP＝10－(5√5/2)
OP^2＝PN^2＋ON^2＝{10－(5√5/2)}^2＋5^2
＝(625/4)－50√5
よって、
OP^2＋AP^2の最小値＝2OP^2＝2{(625/4)－50√5}＝(625/2)－100√5

(２)は、三平方の定理を使いました。
図をかいて確認してみてください。

お礼

分かりやすい解説有難うございます！
考え方が分かりました。

もう一度自分で解き直してみたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.3

m-1016

図を忘れていました；

回答No.2

m-1016

図はこんな感じだと思います。
(1)
LM=5
三平方の定理より、AO=10
四角形ALOMはひし形であるから、半径r^2=AL^2=(LM/2)^2+(AO/2)^2
これより、半径r=5√5/2

外接しているので、AB=2r,OB=2r
点Bを(x,y)とすれば、

x^2+y^2=(5√5)^2 　　　　 ※OB^2=(2r)^2より
(x+6)^2+(y-8)^2=(5√5)^2　　　※AB^2=(2r)^2より

これを解いて、点Bが第1象限にあるということから点B(5,10)

(2)
点P(s,t)とする。
また、OP^2+AP^2=kとすると、点P(s,t)が満たす条件から、

(s-5)^2+(t-10)^2=(5√5/2)^2 　 ※点Pは円C3上にあることから
s^2+t^2+(s+6)^2+(t-8)^2=k　　　　※OP^2+AP^2=kより

これより、4s+3t-(175/16+k/8)=0
これは、傾きが-4/3で、円Cと共有点をもつ直線であるので、kを可能な限り小さくするには、この直線の切片が最小になる場合を考えればいい。

この直線と、円Cがただ1つの共有点を持つ条件は、点Bとこの直線との距離が5√5/2であればいいので、これより、

175/16+k/8=(100-25√5)/2　　　　※(100+25√5)/2はkの値が最大の場合

これを解いて、k=625/2-100√5

あまり自信がありませんが、合っているとしても、計算があまりにも煩雑すぎるので、もう少しスマートな解法があるかもしれません。

回答No.1

suigara

数学のどの分野なのか（中学数学なのか高校数学なのか、高校数学なら数◯）を記載した方が食いつきがいいと思います。

とりあえずちょっと考えてみましたが、解ることを座標だけ書き込んでみると、まず点Ａの座標が（-6，8）なので、ＯＡの長さが（三平方の定理で3:4:5の直角三角形の斜辺にあたるため）10と判ります。

Ｃ１とＣ２の半径が等しいので、２交点で交わった場合、その交点と中心を結んでできる二等辺三角形は合同になるので、四角形ＬＯＭＡはひし形になります。
ひし形は対角線がそれぞれの中心で交わる&垂直に交わるため、ＬＭとＯＡは垂直に交わっている対角線となります。
すると、ＯＡの中心をＸとした場合、△ＡＸＬは、直角をつくる辺が2.5と5で1:2の直角三角形になるので1:2:√5の比の直角三角形になりますから、斜辺(=r)は2.5×√5＝5√5/2　になるのでは。

……と思ったのですがどうでしょう。
数ＩＡくらいまでならまだ解けなくはない文系なので自信無いですが。
とりあえずここまで出たのでご参考までに。間違ってたらゴメンナサイ。

お礼

参考にさせていただきます。
もう一度考えてみます。

この数学の問題がどの分野なのか分からなかったので
書けませんでした。