空間内の角の最小値

質問

一辺の長さが１の立方体ＯＡＢＣ‐ＤＥＦＧがある。
点Ｂを端点とする半直線ＢＦ上に動点Ｐをとり、ＢＰベクトル＝ｔＢＦベクトルとする（ｔ≧０）。

（１）cos∠ＥＯＰをｔで表せ
（２）∠BＯＰ＝θとおくとき、ｔをθで表し、cos∠ＥＯＰを　αsinθ+βcosθの形で表せ。
（３）∠ＥＯＰの最小値を求めよ。

という問題です。（ちなみに底面はＯＡＢＣです）

（１）（２）は誘導に乗って解いて　
cos∠ＥＯＰ＝√２/２sinθ+１/２cosθ　となりました。

しかし（３）から半直線なのでどこまでもPが動くので
∠ＥＯＰの範囲を出せず、最小値に辿り着くことが出来ません；
面倒な計算ですが、解答の方針が分かる方は是非お願いします。

回答No.7

mister_moonlight · ベストアンサー

＞上の式も私は文系なのでcosでの合成は今習っていないのです；

私も文系だが、cosの合成なんか教科書でやったよ。
それとも、今やらないんだろうか？

＞このαの範囲はどうやって出すんでしょうか・・・

√2sinθ+cosθ＝√3(cosθ*1/3＋sinθ*√2/3)＝√3cos(θ-α)　つまり、cosα＝1/3、sinα＝√2/3.
cosαもsinαも正になるのは、第1象限、つまり　0＜α＜π/2

＞この場合sinでの合成になってしまうのですが、そうすると解答の方針はがらっと変わってしまいますか？それともmister_moonlightさんの回答してくださった解答の方針のまま答えまで辿り着けますか？

私の方針でもたどり着けるが、cosに比べると少々面倒になる。
sinxは 0＜x＜π/2 の範囲では、0に近づくほどに値は小さくなるから、今度は最小値を求める事になる。

そのまま合成でやる方法もあるが、Ｎｏ・4で示した方法が解りやすいし、良いだろう。

cosθ＝y、sinθ＝x とすると、x＾2＋y＾2＝1、0≦x＜1、0＜y≦1　‥‥(1)
cosθ＋√2sinθ＝y＋√2*x＝k　‥‥(2)とする。
(1)をxy平面上に図示すると、円：x＾2＋y＾2＝1　の　0≦x＜1、0＜y≦1　の部分。
そこで、直線：y＝-√2*x＋kを動かすと、kの最小値を求めると良い。
それは、直線：y＝-√2*x＋k　は傾きが-√2の直線だから、点(0、1)を通るときに最小になる。
よつて、k≧1　であるから、sin∠ＥＯＰ＝(1/2)*(cosθ＋√2sinθ)＝(1/2)*(y＋√2*x)≧1/2
つまり、sin∠ＥＯＰ≧1/2であるから、∠ＥＯＰ≧π/6となる。

回答No.10

mister_moonlight

ごめん、ごめん、読み間違いをしてた。

君の解でＯＫだよ。

回答No.9

mister_moonlight

今の高校はcosの合成すら教科書に載ってないんだ。。。。。ふぅ～ん。

＞0≦sin(θ+α)≦1　　0≦cos∠ＥＯＰ≦√３/２

ここが駄目。

＞∠ＥＯＰ＝√２/２sinθ+１/２cosθ＝√３/２sin（θ+α）　
＞∠ＥＯＰの最小はcos∠ＥＯＰの最大なので

∠ＥＯＰ＝√３/２sin（θ+α）でsinで与えられているのに　0≦sin(θ+α)≦1　から、どうして　0≦cos∠ＥＯＰ≦√３/２　になるの？

模試にも出たんだから、憶えておいた方がいいと思うよ。特別難しいことではないから。
この問題も、設問の2がcosを使うように誘導している。
その方が視野が広がるし、それ自体が加法定理を使うsinの合成と同じ事だよ。

お礼

お礼が遅くなってしまって申し訳ありません！
丁寧に教えてくださって有難うございました。また機会がありましたら宜しくお願いします。

回答No.8

mister_moonlight

あっ、勘違いしてた。cos∠ＥＯＰ＝√２/２sinθ+１/２cosθ　なんだよね。
そうすると、結構変わってくる。

∠ＥＯＰ＝βとすると、2cosβ＝√2sinθ+cosθ　だから、4sin＾2β＝4-4cos＾2β＝4-(√2sinθ+cosθ　)＾2＝実際に()を2乗して、倍角の公式を使うと　8sin＾2β＝5＋(cos2θ＋√2sin2θ)となる。

このままsinβの最小値を求めても良いしそれも可能だが、やはり、設問がcos∠ＥＯＰを求めさせてるから(誘導式になってる)、cosを使う方がいいと思うよ。

本当に、教科書でcosの合成を習ってないの？

お礼

ありがとうございます！

教科書でまだ確認していませんが、教科書には多分載っていないと思います。
以前一度だけ県内の模試で出てきましたが（誘導付きで）ほぼ誰も解けませんでした。
先生もそのときは滅多に出ないから覚えなくてもいい、とおっしゃっていたので・・・

さっき思いついたのですが

∠ＥＯＰ＝√２/２sinθ+１/２cosθ
　　　　 ＝√３/２sin（θ+α）　

∠ＥＯＰの最小はcos∠ＥＯＰの最大なので

0≦θ＜π/２
0≦α＜π/２　だから

0≦θ+α＜π
0≦sin(θ+α)≦1
0≦cos∠ＥＯＰ≦√３/２

よってcos∠ＥＯＰ≦√３/２＝π/6

と、解答したら駄目でしょうか？
分かる角だけで出したような解答ですが・・・；

回答No.6

mister_moonlight

うっかりしてた、座標など要らない。ドジだねぇ。。。。。。ｗ

0≦θ＜π/2　cos∠ＥＯＰ＝√2/2sinθ+1/2cosθ＝(1/2)*(cosθ＋√2sinθ)　である
cosθ＋√2sinθ＝√3*cos(θ-α)　(0＜α＜π/2)から、-α≦θ-α＜π/2-αより、cosθ＋√2sinθ＝√3*cos(θ-α)≦√3　とするとあっけなく解決。

後は、先ほどの回答の通り。

cosθ＋√2sinθ＝√3*cos(θ-α)≦√3　であるから、cos∠ＥＯＰ＝(1/2)*(cosθ＋√2sinθ)≦√3/2
つまり、cos∠ＥＯＰ≦√3/2であるから、∠ＥＯＰ≧π/6となる。

お礼

回答ありがとうございます！
とてもわかりやすい解答なのですがいくつかわからない点があります・・・

cosθ＋√2sinθ＝√3*cos(θ-α)　(0＜α＜π/2)から・・・・

>(0＜α＜π/2)
このαの範囲はどうやって出すんでしょうか・・・

-α≦θ-α＜π/2-αより、cosθ＋√2sinθ＝√3*cos(θ-α)≦√3　

>上の式も私は文系なのでcosでの合成は今習っていないのです；
この場合sinでの合成になってしまうのですが、そうすると解答の方針はがらっと変わってしまいますか？それともmister_moonlightさんの回答してくださった解答の方針のまま答えまで辿り着けますか？

回答No.5

nag0720

ベクトルの問題ですが、図形の問題として解くと、

点Pが点Bから上に動くと、直線OPは平面OBFD上を直線OBからODまで移動することになります。
従って、直線OEと直線OPとの角度の最小値は、直線OEと平面OBFDとの角度です。

直線と平面の角度は、90°から直線と平面の法線との角度を引いた値です。

平面の法線ベクトルはベクトルCA、またベクトルOE=ベクトルCFなので、
ベクトルCAとベクトルOEの角度＝ベクトルCAとベクトルCF角度=∠ACF
△ACFは正三角形なので、∠ACF=60°

以上から直線OEと平面OBFDとの角度は30°（＝π/6）となり、これが直線OEと直線OPとの最小値になります。

回答No.4

mister_moonlight

いつも言う事だが、微分は最後の手段と考えた方が良い。
使わなければ、それに越した事はないし、その方が簡単にいく場合が多い。

0≦θ＜π/2　cos∠ＥＯＰ＝√２/２sinθ+１/２cosθ＝(1/2)*(cosθ＋√2sinθ)　である。
cosθ＝y、sinθ＝x とすると、x＾2＋y＾2＝1、0≦x＜1、0＜y≦1　‥‥(1)
cosθ＋√2sinθ＝y＋√2*x＝k　‥‥(2)とする。
(1)をxy平面上に図示すると、円：x＾2＋y＾2＝1　の　0≦x＜1、0＜y≦1　の部分。
そこで、直線：y＝-√2*x＋kを動かすと、kの最大値を求めると良い。

0≦α＜π/2の範囲において　cosαは0に近づくほど値が大きくなる事に注意。

それは、直線：y＝-√2*x＋kと円：x＾2＋y＾2＝1が接する時だから、点と直線との距離の公式から、k＝√3.
よつて、k≦√3　であるから、cos∠ＥＯＰ＝(1/2)*(cosθ＋√2sinθ)＝(1/2)*(y＋√2*x)＝k/2≦√3/2
つまり、cos∠ＥＯＰ≦√3/2であるから、∠ＥＯＰ≧π/6となる。

回答No.3

info22_

> cos∠EOP =(√2/2)sinθ+(1/2)cosθ…(A)
> cos∠EOP =(√3/2)sin(θ+α)…(B)
これは合っています。

∠EOP=f(θ)とおくと
Pが半直線上にあるので
0≦θ＜π/2…(C)、0＜f(θ)≦π/3
ここでθ=0(PがBに一致する位置）のとき f(θ)=f(0)=π/3
1/2≦cosf(θ)<1、0<sinf(θ)≦√3/2…(D)

(A),(B)から
cosf(θ)=(1/2)(√2sinθ+cosθ)=(√3/2)sin(θ+α)…(E)
θで微分して
-f'(θ)sinf(θ)=(1/2)(√2cosθ-sinθ)
f'(θ)=(1/2)(sinθ-√2cosθ)/sinf(θ)
(D)から sinf(θ)>0 なので
(C)の範囲で　f'(θ)=0とするθを求める。
sinθ-√2cosθ=0
tanθ=√2 ∴θ=tan^-1(√2)
f(θ) (0<θ≦π/2)の増減表

__θ__|0____tan^-1(√2)_______π/2
f'(θ)|__－____0__________＋
f(θ)_|減少___最小_______増加

θ=tan^-1(√2)のとき
cosθ=1/√3,sinθ=√(2/3)なので
f(θ)の最小値は
(E)から
cosf(θ)=(1/2)(√2√+cosθ)=(√3/2)sin(θ+α)…(E)
f(tan^-1(√2))=cos^-1{(1/2)(√2√(2/3)+1/√3)}
=cos^-1{(1/2)√3}=π/6

(3)の答えは「π/6(ラジアン)」(＝30°)
（このときθ=tan^-1(√2)、x=BP=√2tanθ=2）

お礼

ありがとうございます！
ただ私は文系なので数学III・Ｃまでの範囲は習わないんです・・・
θで微分する方法を知らないので（できたら便利なのでしょうが）この解答が全く分からないのです・・・せっかく答えてくださったのに申し訳ないです。またの機会にお願いします。
でも本当にありがとうございました！

回答No.2

naniwacchi

#1です。

＞合成すると　
＞cos∠ＥＯＰ＝√３/２sin（θ+α）　として表すんですよね？
そうですね。きちんとできていますね。

＞ｔの範囲は（１）から範囲を出すんですよね
(2)でθを用いて表したので、それを踏まえてθで考えた方がよいですね。
合成したところにもθがあるので。

θのとり得る値の範囲が △≦ θ＜ □となれば、△+α≦ θ+α＜ □+αとなります。
αは直接求められませんが、「条件」が与えられるのでαがとり得る値の範囲はわかります。
そのあたりを整理していくと、sin(θ+α)の最小値を求めることができます。

ちょっとややこしいかもしれませんが、やってみてください。＾＾

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

順調に解けていると思います。
最後ですが、ひとまず「合成」してみてはどうですか？

＞しかし（３）から半直線なのでどこまでもPが動くので
そうですね。θって図形的に考えると、どのような値をとることができるでしょうか？
tをθで表したときにも、少しθの範囲を考えるような式が出てきますね。

もうちょいですね。＾＾

お礼

回答ありがとうございます。

合成すると　
cos∠ＥＯＰ＝√３/２sin（θ+α）　として表すんですよね？

ｔの範囲は（１）から範囲を出すんですよね…やってみます。ありがとうございます！