平面図形、線分の長さの最大値

質問

２つの半直線OX、OYをとり、OY上の点PからOXに下ろした垂線の足をQとする。Pを通りOXに平行な直線上に点Sを、線分OSとPQが交わるようにとり、OSとPQの交点をRとする。
線分OPの長さが１、線分RSの長さが２を保ちながら∠XOYを鋭角の範囲で変化させたときの、線分QRの長さの最大値を求めよ

この問題を解いています
P(cosθ、sinθ）、Q（cosθ、０）、R（cosθ、ｔ）とおいて、直線ORの式を出してS（sinθcosθ/ｔ、sinθ）
としてRS＝２の条件で出そうと思ったのですが計算がうまくいきません。
この方針であっているでしょうか？
あっているなら計算について、はずれているならどのように解けばいいのかを教えてください。宜しくお願いします

回答No.1

oyaoya65 · ベストアンサー

点ＳからＯＸへ下ろした垂線の足をＴと置けば
OR:RS＝QR:TSより
RS・QR＝TS・OR
2t＝sinθ√{t^2 +(cosθ)^2}
4t^2＝(sinθ)^2 {t^2 +1-(sinθ)^2}
u=(sinθ)^2（0＜u＜1）,v=t^2（0＜v＜1）と置けば
v=u(1-u)/(4-u)
の（0＜u＜1）での最大値を求める問題に帰します。

後はできますね。

回答No.2

kony0

∠XOYの大きさにかかわらず、OSは、∠XOYの３等分線のうちOXに近いほうであることが言えます。
（略証）
RSの中点をMとすると、Mは直角三角形PRSの斜辺の中点、すなわち外心であるので、PM=SM=QM=1
したがって、△POM, △MPSはそれぞれ二等辺三角形。
・・・あとは底角および錯角を用いると示せます。

ということで、t=cosθ * tan(θ/3)

・・・でもここからも計算難しそうですよ。（私は断念しました）